Twierdzenie Dooba

Twierdzenie Dooba – Niech ciąg $(X_n,F_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ będzie martyngałem, a ${\tau }_1$ i ${\tau }_2$ skończonymi p.n. momentami stopu, takimi, że

• $E|X_{{\tau }_i}|<\mathrm{\infty },i=1,2.$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}E(|X_n|1_{\{{\tau }_i>n\}})=0,i=1,2.$

Wtedy $E(X_{{\tau }_2}|F_{{\tau }_1})=X_{{\tau }_1}$ na zbiorze $\{{\tau }_2⩾{\tau }_1\}$ prawie na pewno.

Gdy $\mathbb{P}({\tau }_1⩽{\tau }_2)=1,$ to $E(X_{{\tau }_2}|{ℱ}_{{\tau }_1})=X_{{\tau }_1}$ prawie na pewno, czyli ciąg $(X_{{\tau }_1},{ℱ}_{{\tau }_1}),(X_{{\tau }_2},{ℱ}_{{\tau }_2})$ jest martyngałem.

Czasami wygodniej jest skorzystać z nieco mniej ogólnej wersji twierdzenia:

Niech ciąg $(X_n,{ℱ}_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ będzie nadmartyngałem (lub analogicznie – martyngałem) i niech ${\tau }_1⩽{\tau }_2$ będą dwoma ograniczonymi momentami stopu. Wtedy ciąg $(X_{{\tau }_i},{ℱ}_{{\tau }_i}{)}_{i=1}^2$ jest nadmartyngałem (martyngałem).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę