Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra

Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra – klasyczne twierdzenie analizy zespolonej dotyczące funkcji analitycznych w kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, które są w pewnym sensie rozwinięciami wielomianów, przypominającymi rozwinięcia Taylora, o pewnych szczególnych własnościach. Twierdzenie udowodnione w roku 1911 przez Constantina Carathéodory’ego i Lipóta Fejéra.

Twierdzenie

Niech $p(z)=c_0+c_{1}z+\dots c_n{z}^n$ będzie wielomianem zmiennej zespolonej. Istnieje wówczas dokładnie jedna funkcja:

$B^{*}(z)=c_0+c_{1}z+\dots c_n{z}^n+\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k^{*}{z}^k,$

która jest analityczna w kole jednostkowym oraz minimalizuje funkcjonał

$\Vert B\Vert :=\underset{z⩽1}{\sup }|B(z)|$

spośród wszystkich (analitycznych) rozwinięć $B(z)$ postaci

$B(z)=c_0+c_{1}z+\dots c_n{z}^n+\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{z}^k.$

Ponadto, jeżeli $B^{*}(z)$ jest skończonym iloczynem Blaschke’go oraz $p(z)\ne 0,z\in ℂ,$ to $B^{*}(z)$ ma co najwyżej n zer.