Transformata Legendre’a (całkowa)

Szablon:Inne znaczenia Transformata Legendre’a – transformata całkowa funkcji określonych na przedziale $[-1,1],$ której jądrem jest pewien wielomian Legendre’a. Pojęcie zostało wprowadzone w roku 1954 przez Ruela Vance’a Churchilla.

Definicja formalna

Niech $n$ będzie liczbą naturalną oraz $P_n$ będzie $n$-tym wielomianem Legendre’a. Jeżeli $f:[-1,1]\to ℂ$ jest funkcją mierzalną, to jej ($n$-tą) transformatą Legendre’a nazywamy funkcję

${𝒥}_n(f)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)f(x)dx,$

o ile tylko całka po prawej stronie istnieje.

Transformata Legendre’a znajduje zastosowanie w przedstawianiu funkcji $f$ na przedziale $[-1,1]$ w postaci szeregu

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{P}_n(x),$

gdzie:

$a_n=\frac{2n+1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)f(x)dx=\frac{2n+1}{2}{𝒥}_n(f).$

Przedstawienie to jest analogiczne do szeregu Fouriera danych funkcji względem układu trygonometrycznego, którego rolę w tym wypadku pełni układ wielomianów Legendre’a.

Bibliografia

• Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral Transforms and Their Applications Chapman & Hall/CRC; wydanie drugie (2006), s. 486–498.