Tożsamość Czebyszewa

Tożsamość Czebyszewa to następująca równość:

$\sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{i=1}^n{b}_i=n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i-\sum _{i=1}^n\sum _{k=i+1}^n(a_i-a_k)(b_i-b_k).$

Jej nazwa pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka Czebyszewa.

Jeżeli założyć, że $(a_i-a_k)(b_i-b_k)⩾0,$ to otrzymuje się stąd następującą nierówność, zwaną często nierównością Czebyszewa:

$n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i⩾\sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{i=1}^n{b}_i.$

W szczególności, nierówność Czebyszewa zachodzi, gdy $a_1⩾a_2⩾a_3⩾\dots ⩾a_n$ oraz $b_1⩾b_2⩾b_3⩾\dots ⩾b_n.$

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa w rachunku prawdopodobieństwa

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].