Tabele współczynników Clebscha-Gordana

Tabele współczynników Clebscha-Gordana używa się do dodawania stanów kwantowych operatora momentu pędu. Znak współczynników dla danego zestawy liczb $j_{1}, j_{2}, j$ jest do pewnego stopnia dowolny i został ustalony zgodnie z konwencją Condona-Shortlego i Wignera.

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2$

Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych $j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2 .$

(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości $j, m, m_{1}, m_{2} .$

(2) Współczynniki C-G dla danych wartości $j, m$ i wartości $m_{1}, m_{2}$ są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami $j, m$ oraz wiersza w wartościami $m_{1}, m_{2}$ – podano je wytłuszczonym drukiem. Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.

$j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	1
	m	1
m1, m2	+1/2, +1/2	1

cd. $j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	1
	m	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	1

cd. $j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	1	0
	m	0	0
m1, m2	1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, 1/2	1/2	−1/2

Sprzężenie stanów $j_{1}$ – dowolna liczba, $j_{2} = 0$

$j_{1} = j, j_{2} = 0$
	j	j
	m	m1
m1, m2	m1, 0	1

czyli mamy:

| j_{1}, m_{1} ⟩ | 0, 0 ⟩ = | j_{1}, m_{1} ⟩

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$

$j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$
	j	3/2
	m	+3/2
m1, m2	+1, +1/2	1

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$
	j	3/2	1/2
	m	+1/2	+1/2
m1, m2	1, −1/2	1/3	2/3
m1, m2	0, +1/2	2/3	−1/3

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$
	j	3/2	1/2
	m	−1/2	−1/2
m1, m2	0, −1/2	2/3	1/3
m1, m2	−1, +1/2	1/3	−2/3

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$
	j	3/2
	m	−3/2
m1, m2	−1, −1/2	1

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1, j_{2} = 1$

$j_{1} = 1, j_{2} = 1$
	j	2
	m	2
m1, m2	+1, +1	1

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1$
	j	2	1
	m	+1	+1
m1, m2	+1, 0	1/2	1/2
m1, m2	0, +1	1/2	−1/2

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1$
	j	2	1	0
	m	0	0	0
m1, m2	+1, −1	1/6	1/2	1/3
m1, m2	0, 0	2/3	0	−1/3
m1, m2	−1, +1	1/6	−1/2	1/3

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1$
	j	2	1
	m	−1	−1
m1, m2	0, −1	1/2	1/2
m1, m2	−1, 0	1/2	−1/2

cd. $j_{1} = 1, j_{2} = 1$
	j	2
	m	−2
m1, m2	−1, −1	1

Sprzężenie stanów $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$

$j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	5/2
	m	+5/2
m1, m2	+2, +1/2	1

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	5/2	3/2
	m	+3/2	+3/2
m1, m2	+2, −1/2	1/5	4/5
m1, m2	+1, +1/2	4/5	−1/5

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	5/2	3/2
	m	+1/2	+1/2
m1, m2	1, −1/2	2/5	3/5
m1, m2	0, +1/2	3/5	−2/5

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	5/2	3/2
	m	−1/2	−1/2
m1, m2	0, −1/2	3/5	2/5
m1, m2	−1, +1/2	2/5	−3/5

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	5/2	3/2
	m	−3/2	−3/2
m1, m2	−1, −1/2	4/5	1/5
m1, m2	−2, +1/2	1/5	−4/5

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	5/2
	m	−5/2
m1, m2	−2, −1/2	1

Sprzężenie stanów $j_{1} = 2, j_{2} = 1$

$j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3
	m	+3
m1, m2	+2, +1	1

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3	2
	m	+2	+2
m1, m2	+2, 0	1/3	2/3
m1, m2	+1, +1	2/3	−1/3

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3	2	1
	m	+1	+1	+1
m1, m2	+2, −1	1/15	1/3	3/5
m1, m2	+1, 0	8/15	1/6	−3/10
m1, m2	0, +1	2/5	−1/2	1/10

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3	2	1
	m	0	0	0
m1, m2	+1, −1	1/5	1/2	3/10
m1, m2	0, 0	3/5	0	−2/5
m1, m2	−1, +1	1/5	−1/2	3/10

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3	2	1
	m	−1	−1	−1
m1, m2	0, −1	2/5	1/2	1/10
m1, m2	−1, 0	8/15	−1/6	−3/10
m1, m2	−2, +1	1/15	−1/3	3/5

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3	2
	m	−2	−2
m1, m2	−1, −1	2/3	1/3
m1, m2	−2, 0	1/3	−2/3

cd. $j_{1} = 2, j_{2} = 1$
	j	3
	m	−3
m1, m2	−2, −1	1

Sprzężenie stanów $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$

$j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	2
	m	+2
m1, m2	+3/2, +1/2	1

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	2	1
	m	+1	+1
m1, m2	+3/2, −1/2	1/4	3/4
m1, m2	+1/2, +1/2	3/4	−1/4

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	2	1
	m	0	0
m1, m2	+1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, +1/2	1/2	−1/2

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	2	1
	m	−1	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	3/4	1/4
m1, m2	−3/2, +1/2	1/4	−3/4

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$
	j	2
	m	−2
m1, m2	−3/2, −1/2	1

Sprzężenie stanów $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$

$j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$
	j	5/2
	m	+5/2
m1, m2	+3/2, +1	1

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$
	j	5/2	3/2
	m	+3/2	+3/2
m1, m2	+3/2, 0	2/5	3/5
m1, m2	+1/2, +1	3/5	−2/5

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$
	j	5/2	3/2	1/2
	m	+1/2	+1/2	+1/2
m1, m2	+3/2, −1	1/10	2/5	1/2
m1, m2	+1/2, 0	3/5	1/15	−1/3
m1, m2	−1/2, +1	3/10	−8/15	1/6

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$
	j	5/2	3/2	1/2
	m	−1/2	−1/2	−1/2
m1, m2	+1/2, −1	3/10	8/15	1/6
m1, m2	−1/2, 0	3/5	−1/15	−1/3
m1, m2	−3/2, +1	1/10	−2/5	1/2

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$
	j	5/2	3/2
	m	−3/2	−3/2
m1, m2	−1/2, −1	3/5	2/5
m1, m2	−3/2, 0	2/5	−3/5

cd. $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$
	j	5/2
	m	−5/2
m1, m2	−3/2, −1	1

Definicja

Współczynniki Clebscha-Gordana są rozwiązaniami równań $| j_{1}, j_{2}; J, M ⟩ = \sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} | j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩ ⟨ j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2} ∣ j_{1}, j_{2}; J, M ⟩$

czyli

\begin{matrix} ⟨ j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2} ∣ j_{1}, j_{2}; J, M ⟩ \\ = & δ_{M, m_{1} + m_{2}} \sqrt{\frac{(2 J + 1) (J + j_{1} - j_{2})! (J - j_{1} + j_{2})! (j_{1} + j_{2} - J)!}{(j_{1} + j_{2} + J + 1)!}} \\ \times & \sqrt{(J + M)! (J - M)! (j_{1} - m_{1})! (j_{1} + m_{1})! (j_{2} - m_{2})! (j_{2} + m_{2})!} \\ \times & \sum_{k} \frac{(- 1)^{k}}{k! (j_{1} + j_{2} - J - k)! (j_{1} - m_{1} - k)! (j_{2} + m_{2} - k)! (J - j_{2} + m_{1} + k)! (J - j_{1} - m_{2} + k)!} . \end{matrix}

Sumowanie przebiega dla liczb Szablon:Mvar dla których każdy składnik jest nieujemny.

Dla skrócenia zapisu rozwiązania z $M < 0$ oraz $j_{1} < j_{2}$ można obliczyć na podstawie prostych zależności

⟨ j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2} ∣ j_{1}, j_{2}; J, M ⟩ = (- 1)^{J - j_{1} - j_{2}} ⟨ j_{1}, j_{2}; - m_{1}, - m_{2} ∣ j_{1}, j_{2}; J, - M ⟩ .

oraz

⟨ j_{1}, j_{2}; m_{1}, m_{2} ∣ j_{1}, j_{2}; J, M ⟩ = (- 1)^{J - j_{1} - j_{2}} ⟨ j_{2}, j_{1}; m_{2}, m_{1} ∣ j_{2}, j_{1}; J, M ⟩ .

Zobacz też

Bibliografia

David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.

Źródła zewnętrzne

Teoria całkowitego momentu pędu – wikibooks

Tabele współczynników Clebscha-Gordana

Spis treści

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1}$ – dowolna liczba, $j_{2} = 0$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1, j_{2} = 1$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 2, j_{2} = 1$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$

Definicja

Zobacz też

Bibliografia

Źródła zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Tabele współczynników Clebscha-Gordana

Sprzężenie stanów j1=1/2, j2=1/2

Sprzężenie stanów j1 – dowolna liczba, j2=0

Sprzężenie stanów j1=1, j2=1/2

Sprzężenie stanów j1=1, j2=1

Sprzężenie stanów j1=2, j2=1/2

Sprzężenie stanów j1=2, j2=1

Sprzężenie stanów j1=3/2, j2=1/2

Sprzężenie stanów j1=3/2, j2=1

Definicja

Zobacz też

Bibliografia

Źródła zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1 / 2, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1}$ – dowolna liczba, $j_{2} = 0$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 1, j_{2} = 1$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 2, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 2, j_{2} = 1$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1 / 2$

Sprzężenie stanów $j_{1} = 3 / 2, j_{2} = 1$