Słaba homotopijna równoważność

Słaba homotopijna równoważność – odwzorowanie ciągłe między przestrzeniami topologicznymi indukujące izomorfizm grup homotopii.

Formalna definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe $f:X\to Y$ nazywa się słabą homotopijną równoważnością, jeżeli $f$ indukuje bijekcję między składowymi łukowymi przestrzeni $X$ i przestrzeni $Y$ oraz dla wszystkich $x_0\in X,$ $n⩾1$ homomorfizm indukowany $f_{*}:{\pi }_n(X,x_0)\to {\pi }_n(Y,f(x_0))$ jest izomorfizmem, gdzie ${\pi }_n(X,x_0)$ oznacza $n$-tą grupę homotopii zaczepioną w punkcie $x_0$.

Własności

• Każda homotopijna równoważność jest słabą homotopijną równoważnością.
• Złożenie słabych homotopijnych równoważności jest słabą homotopijną równoważnością.
• Słaba homotopijna równoważność między CW-kompleksami jest homotopijną równoważnością. Jest to treść twierdzenia Whiteheada.
• Przekształcenie homotopijne ze słabą homotopijną równoważnością jest słabą homotopiją równoważnością.
• Z istnienia słabej homotopopijnej równoważności $X\to Y$ nie wynika istnienie słabej homotopijnej równoważności $Y\to X$.

Przykłady

• Jeżeli przestrzenie $X$ oraz $Y$ są ściągalne, to każde odwzorowanie $X\to Y$ jest słabą homotopijną równoważnością.
• Niech $X=\{a,b,c,d\}$ oraz $\tau =\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{c\},\{a,b,c\},\{a,d,c\},X\}.$ Para $(X,\tau )$ jest skończoną przestrzenią topologiczną mającą dwa zbiory jednopunktowe otwarte i dwa domknięte. Jeżeli na sferze ${𝕊}^1$ wybierzemy dwa różne punkty $x,y$ to ${𝕊}^1\setminus \{x,y\}$ jest sumą dwu rozłącznych zbiorów otwartych $U_1,U_2.$ Każde przekształcenie $f:{𝕊}^1\to X$ takie, że $f(x)=b,f(y)=d,f(U_1)=\{a\},f(U_2)=\{c\}$ jest słabą homotopijną równoważnością. Warto zauważyć, że dowolne odwzorowanie ciągłe $X\to {𝕊}^1$ musi być stałe, w szczególności nie istnieje słaba homotopijna równoważność $X\to {𝕊}^1.$
• Ogólniej, dla każdego kompleksu symplicjalnego $K$ istnieje $T_0$-przestrzeń Aleksandrowa $X$ (skończona, gdy $K$ jest skończony) oraz słaba homotopijna równoważność $|K|\to X$.