System formalny

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

System formalny – język formuł (logiki) wraz ze zbiorem reguł wyprowadzania (wywodu) i zwykle zbiorem aksjomatów. Systemy formalne są tworzone i badane zarówno jako samodzielne abstrakcyjne twory, jak i systemy opisu rzeczywistości.

W matematyce formalnie dowody twierdzeń konstruuje się w systemach formalnych zawierających aksjomaty oraz reguły dedukcji (wyprowadzania). Twierdzenia są wtedy „ostatnimi liniami” takich dowodów. Zbiór aksjomatów i wszystkich możliwych twierdzeń nazywa się domknięciem zbioru aksjomatów ze względu na wyprowadzanie. Takie podejście do matematyki nazywane jest formalizmem matematycznym. David Hilbert nazwał metamatematyką naukę badającą systemy formalne.

System formalny w matematyce zawiera następujące elementy:

  1. Skończony zbiór symboli, z którego konstruowane są formuły.
  2. Gramatykę opisującą jakie formuły są poprawnie skonstruowane i pozwalającą zweryfikować poprawność dowolnej formuły.
  3. Zbiór aksjomatów, będących poprawnie skonstruowanymi formułami.
  4. Zbiór reguł wyprowadzania.
  5. Zbiór twierdzeń zawierający wszystkie aksjomaty oraz wszystkie poprawnie skonstruowane formuły, które da się wyprowadzić z aksjomatów za pomocą reguł wyprowadzania.

Należy pamiętać, że nawet jeżeli dana formuła jest poprawną formułą systemu, to nie oznacza to, że istnieje procedura decyzyjna określająca, czy jest ona twierdzeniem.

Definicja

Systemem formalnym (w zbiorze E) nazywamy trójkę ⟨E,R,A⟩, gdzie E jest dowolnym zbiorem, A⊆E, a R jest zbiorem reguł wnioskowania w E. Elementy zbioru E nazywa się wyrażeniami tego systemu, elementy zbioru A nazywa – aksjomatami, a elementy zbioru R – jego regułami.

System formalny jest finitarny, jeśli jego reguły są finitarne.

Dowody

Niech 𝔖=⟨E,R,A⟩ będzie systemem formalnym, X⊆E oraz e∈E.

Dowodem elementu e ze zbiorem założeń X w systemie 𝔖 jest ciąg ⟨e1,…,en⟩ elementów zbioru E, dla którego:

  • e=en,
  • dla każdego k=1,…,n zachodzi przynajmniej jeden z warunków:
    • ek∈X∪A,
    • ∃r∈R∃Π⊆{1,…,k−1}(⟨{ei:i∈Π},ek⟩∈r).

Zbiór elementów mających w 𝔖 dowód ze zbiorem założeń X oznacza się symbolem 𝐏𝐫𝐯𝔖(X).

Przykłady dowodów w systemach formalnych wybranych rachunków zdaniowych można znaleźć tutaj i tutaj.

Własności

  • X⊆𝐏𝐫𝐯𝔖(X).
  • X⊆Y⇒𝐏𝐫𝐯𝔖(X)⊆𝐏𝐫𝐯𝔖(Y).
  • 𝐏𝐫𝐯𝔖(𝐏𝐫𝐯𝔖(X))=𝐏𝐫𝐯𝔖(X).

Z własności tych wynika, że 𝐏𝐫𝐯 jest operatorem domknięcia, co więcej, jest on finitarny:

e∈𝐏𝐫𝐯𝔖(X)⇔∃X0 – skończony(X0⊆X,e∈𝐏𝐫𝐯𝔖(X0)).

Zakres wnioskowania

Mając dany zbiór „założeń” X chciałoby się znać wszystkie „fakty” e ze zbioru E, które można wywnioskować ze zbioru X. Niestety okazuje się, że zbiory 𝐏𝐫𝐯𝔖(X) nie zawsze zawierają wszystkie „wnioski”.

Otóż, niech

E={0,1,2,…} i R={r,rω},

gdzie r={⟨{n},n+1⟩:n∈ω} i rω={⟨{1,2,…},0⟩:n∈ω}. Wówczas

𝐏𝐫𝐯𝔖({1})={1,2,3,…},

choć z {1,2,…} można przecież wywnioskować jeszcze element 0.

Konsekwencje i sprzeczność

Szablon:Osobny artykuł Zbiór Y jest domknięty w 𝔖, jeśli

  • A⊆Y oraz
  • ∀r∈R∀⟨Π,e⟩∈r(Π⊆Y⇒e∈Y)

Czasami zbiory domknięte w systemie formalnym nazywa się teoriami tego systemu.

Konsekwencją zbioru X w systemie formalnym 𝔖 nazywa się najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający X. Zbiór ten oznacza się jest symbolem 𝐂𝐧𝔖(X).

W ten sposób w systemie formalnym 𝔖 można rozważać operator 𝐂𝐧𝔖 nazywany operatorem konsekwencji lub domknięcia, który jak pokazuje powyższy przykład, nie zawsze jest finitarny.

Zachodzi następujący związek między operatorami 𝐂𝐧𝔖 i 𝐏𝐫𝐯𝔖:

𝐏𝐫𝐯𝔖(X)⊆𝐂𝐧𝔖(X),

jeżeli system formalny jest finitarny, to

𝐏𝐫𝐯𝔖(X)=𝐂𝐧𝔖(X)

dla każdego zbioru X.

Zbiór X jest sprzeczny w systemie formalnym 𝔖, jeżeli Cn𝔖(X)=E. System formalny jest zwarty, jeśli każdy zbiór sprzeczny w tym systemie zawiera skończony podzbiór sprzeczny.

Porównywanie

Niech 𝔖=⟨E,R,A⟩ będzie systemem formalnym i niech r będzie regułą w zbiorze E.

Reguła r jest dopuszczalna w 𝔖, jeśli

Π⊆𝐂𝐧𝔖(∅)⇒e∈𝐂𝐧𝔖(∅), gdzie ⟨Π,e⟩∈r.

Reguła r jest wyprowadzalna w 𝔖, jeżeli

e∈𝐂𝐧𝔖(Π), gdzie ⟨Π,e⟩∈r.

System formalny 𝔖1=⟨E,R1,A1⟩ jest niesłabszy niż 𝔖, co oznacza się 𝔖⪯𝔖1, gdy

  • A⊆𝐂𝐧𝔖1(∅) oraz
  • wszystkie reguły w R są wyprowadzalne w 𝔖1.

Systemy są równoważne, jeśli 𝔖⪯𝔖1 oraz 𝔖1⪯𝔖, co zapisuje się 𝔖≈𝔖1.

Zobacz też

Szablon:Kontrola autorytatywna

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=System_formalny&oldid=3908”