Sygnał harmoniczny

Sygnał harmoniczny (inaczej: sygnał sinusoidalny) to sygnał, którego zmienność określa funkcja sinusoidalna.

Rzeczywisty sygnał harmoniczny

Rzeczywisty sygnał harmoniczny można zapisać w postaci

$u(t)=A\cos (2\pi f_{0}t+{\phi }_0),$

gdzie:

$A$ – amplituda,

$f_0$ – częstotliwość,

${\phi }_0$ – faza początkowa, to znaczy faza dla chwili $t=0.$

Postać ta jest równoważna innej formie wynikającej z tożsamości trygonometrycznych:

$u(t)=a\cos (2\pi f_{0}t)+b\sin (2\pi f_{0}t),$

gdzie wielkości A, a, b spełniają zależności

$A=\sqrt{a^2+b^2},$

$\mathrm{tg}({\phi }_0)=\frac{b}{a}$

oraz

$a=A\cos ({\phi }_0),$

$b=A\sin ({\phi }_0).$

Sygnał harmoniczny jest okresowy, przy czym jego okres $T$ wynosi

$T=\frac{1}{f_0}.$

Dla sygnału harmonicznego definiuje się pojęcie pulsacji ${\omega }_0$ jako

${\omega }_0=2\pi f_0.$

Widmo

Widmo rzeczywistego sygnału harmonicznego zawiera dwa impulsy Diraca umieszczone odpowiednio w punktach ${\omega }_0$ oraz $-{\omega }_0$ w dziedzinie pulsacji.

Zespolony sygnał harmoniczny

Zespolony sygnał harmoniczny $z(t)$ to uogólnienie rzeczywistego sygnału harmonicznego $u(t)$ takie, że

$u(t)=\mathrm{\Re }\{z(t)\},$

najczęściej postaci

$z(t)=A{e}^{j2\pi f_{0}t+{\phi }_0}=\cos (2\pi f_{0}t+{\phi }_0)+j\sin (2\pi f_{0}t+{\phi }_0).$

Widmo

Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o postaci jak wyżej zawiera pojedynczy impuls Diraca umieszczony w punkcie ${\omega }_0$ w dziedzinie pulsacji.

Dyskretny sygnał harmoniczny

Dyskretny sygnał harmoniczny to sygnał $u(n)$ określony dla dyskretnych wartości argumentu $n,$ o postaci

$u(n)=A\cos (2\pi \frac{f_0}{f_s}n+{\phi }_0),$

gdzie:

$f_s$ – częstotliwość próbkowania.

Dyskretny sygnał harmoniczny jest okresowy tylko wtedy, gdy jego częstotliwość $f_0$ jest całkowitą podwielokrotnością częstotliwości próbkowania $f_s.$

Widmo

Widmo dyskretnego sygnału harmonicznego zawiera nieskończony ciąg par impulsów Diraca, powtarzających się w pulsacjach $k2\pi f_s+{\omega }_0$ oraz $k2\pi f_s-{\omega }_0,$ dla wszystkich całkowitych $k.$

Bibliografia

• Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G., Teoria sygnałów. Wstęp, Wydanie 2, Wydawnictwo Helion, 2006.
• Szablon:Cytuj
• Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów, wyd. V, WKiŁ, 2007, Szablon:ISBN.
• Zieliński Tomasz P., Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział EAIiE AGH, Kraków 2000.
• Zieliński Tomasz P., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Wyd. 2 popr., Warszawa 2007, Szablon:ISBN.