Sumator (układ logiczny)

1-bitowy pełny sumator uzyskany za pomocą dwóch półpełnych sumatorów.

półpełny sumator.

Pełny sumator 1-bitowy.

Sumator – cyfrowy układ kombinacyjny, który wykonuje operacje dodawania dwóch (lub więcej) liczb dwójkowych. Sumatory można podzielić na:

1. szeregowe (ang. serial adder): podczas każdej operacji dodają one dwa bity składników oraz bit przeniesienia;
2. równoległe (ang. parallel adder): wielopozycyjne, dodają do siebie jednocześnie bity ze wszystkich pozycji, a przeniesienie realizowane jest w zależności od sposobu połączenia sumatorów jednobitowych. Każdy sumator charakteryzuje się typem ukończenia:
   1. Sumator pełny (ang. full adder)
   2. Sumator półpełny (ang. half adder).

Każdy pełny sumator pełny składa się z dwóch sumatorów półpełnych.

Sumatory równoległe z kolei obejmują dwie grupy:

1. z przeniesieniami szeregowymi (ang. ripple-carry adder),
2. z przeniesieniami równoległymi (ang. carry look-ahead adder).

Teoria

Tablica prawdy dla sumatora półpełnego i 1-bitowego sumatora pełnego:

Wejścia		Wyjścia
$a_i$	$b_i$	$c_i$	$s_i$
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Wejścia			Wyjścia
$a_i$	$b_i$	$c_{i-1}$	$c_i$	$s_i$
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

gdzie:

• $a_i$ – pierwszy składnik sumy,
• $b_i$ – drugi składnik sumy,
• $c_{i-1}$ – przeniesienie z poprzedniej pozycji,
• $s_i$ – suma,
• $c_i$ – przeniesienie.

Wyrażenia boolowskie opisujące sumę i przeniesienie:

$s_i=c_{i-1}\oplus a_i\oplus b_i,$

$c_i=a_i{b}_i+c_{i-1}(a_i\oplus b_i).$

Wprowadza się jeszcze oznaczenia:

$g_i=a_i{b}_i$ – grupa generacyjna,

$p_i=a_i\oplus b_i$ – grupa propagacyjna.

Można wówczas zapisać przeniesienie:

$c_i=g_i+c_{i-1}{p}_i.$

Sumator z przeniesieniami szeregowymi

Sumator ten zbudowany jest z bloków funkcjonalnych, które realizują funkcje $s_i$ i $c_i.$ Bloki są połączone kaskadowo (ang. ripple), tzn. wyjście $c_i$ jest łączone z wejściem $c_{i+1}$ bloku następnego.

Aby na przykład otrzymać bit sumy $s_4,$ uprzednio muszą zostać wyznaczone sygnały przeniesień $c_1,$ $c_2$ oraz $c_3,$ ponieważ $c_3$ zależy od $c_2,$ a ten zależy od $c_1.$ Czas otrzymania ostatecznego wyniku jest więc ograniczony od dołu przez $n$ × czas generacji przeniesienia $c,$ gdzie $n$ to liczba elementarnych bloków, z których zbudowanych jest sumator.

Sumator z przeniesieniami równoległymi

W sumatorze z przeniesieniami równoległymi bity przeniesień są wyznaczane równolegle. Wyrażenia opisujące $c_i$ są rekursywnie rozwijane, tzn. występujący w nich składnik $c_{i-1}$ jest zastępowany stosownym wyrażeniem, np.:

$c_0=\text{const},$

$c_1=g_1+c_{1-1}{p}_1=g_1+c_0{p}_1,$

$c_2=g_2+c_{2-1}{p}_2=g_2+c_1{p}_2=g_2+(g_1+c_0{p}_1)p_2.$

Układ buduje się z dwóch głównych części:

1. bloków wyznaczających sumę $s_i$ oraz grup generacyjnych $g_i$ i propagacyjnych $p_i$ (które są liczone niezależnie);
2. bloku generującego przeniesienia zgodnie z rozwiniętymi wyrażeniami.

W praktyce buduje się 4-bitowe sumatory tego typu, ze względu na znaczne skomplikowanie wyrażeń (a więc i obwodów elektrycznych bloku nr 2).

Sumator z przeniesieniami równoległymi jest ok. 20–40% szybszy niż sumator z przeniesieniami szeregowymi.

Zobacz też

• bramka logiczna
• subtraktor