Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a (ang. generalized Laguerre polynomials, associated Laguerre polynomials) – wielomiany ortogonalne zdefiniowane w sposób:

$L_n^{(\alpha )}(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{f}}{=}\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^{n+\alpha }\right).$

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a stanowią rozwiązanie następującego równania różniczkowego II rzędu zwanego stowarzyszonym równaniem Laguerre’a:

$x\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}+(\alpha +1-x)\frac{df(x)}{dx}+nf(x)=0.$

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są uogólnieniem ‘zwykłych’ wielomianów Laguerre’a $L_n(x),$ które stanowią szczególny przypadek wielomianów stowarzyszonych dla $\alpha =0:$

$L_n(x)=L_n^{(0)}(x)$

Początkowe stowarzyszone wielomiany Laguerre’a

$L_0^{(\alpha )}(x)=1$

$L_1^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_2^{(\alpha )}(x)=\frac{1}{2}{x}^2-(\alpha +2)x+\frac{(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}$

$L_3^{(\alpha )}(x)=-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{\alpha +3}{2}{x}^2-\frac{(\alpha +2)(\alpha +3)}{2}x+\frac{(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}$

$L_1^1(x)=-1$

$L_2^1(x)=2x-4$

$L_2^2(x)=2$

$L_3^1(x)=-3x^2+18x-18$

$L_3^2(x)=-6x+18$

$L_3^3(x)=-6$

$L_4^1(x)=4x^3-48x^2+144x-96$

$L_4^2(x)=12x^2-96x+144$

$L_4^3(x)=24x-96$

$L_4^4(x)=24$

Własności stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a

Dla naturalnych $\alpha$ pierwszy wyraz wielomianu ma współczynnik:

$C_0=\frac{(-1{)}^n}{n!},$

a wartość wielomianu w punkcie 0 wynosi:

$L_n^{(\alpha )}(0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n}).$

Stowarzyszony wielomian Laguerre’a $L_n^{(\alpha )}(x)$ posiada $n$ pierwiastków rzeczywistych zawartych w przedziałach $(0;n+\alpha +(n-1)\sqrt{n+\alpha }].$

Wzory rekurencyjne

Wzory te pozwalają na wyznaczanie wielomianów wyższego rzędu korzystając z wielomianów niższego rzędu lub wielomianów o wyższych górnych wskaźnikach, korzystając z wielomianów o niższych górnych wskaźnikach:

$L_n^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),$

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n{L}_{n-i}^{(\alpha +i)}(y)\frac{(y-x{)}^i}{i!},$

$L_n^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x),$

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n-i-1}{n-i})L_i^{(\beta )}(x),$

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n}{n-i})L_i^{(\beta -i)}(x),$

$L_n^{(\alpha )}(x)=L_n^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x),$

$\begin{array}{cc}n{L}_n^{(\alpha )}(x)& =(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-x{L}_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)\\ & \text{or }\frac{x^k}{k!}{L}_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k-i})L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\end{array},$

$n{L}_n^{(\alpha +1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x),$

$x{L}_n^{(\alpha +1)}(x)=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha )}(x),$

$\begin{array}{cc}{L}_n^{(\alpha )}(x)& =(2+\frac{\alpha -1-x}{n})L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(1+\frac{\alpha -1}{n})L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\ & =\frac{\alpha +1-x}{n}{L}_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-\frac{x}{n}{L}_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{array},$

$\frac{(-x{)}^i}{i!}{L}_n^{(i-n)}(x)=\frac{(-x{)}^n}{n!}{L}_i^{(n-i)}(x),$

$\begin{array}{cc}\frac{L_n^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})}& =1-\sum _{j=1}^n\frac{x^j}{\alpha +j}\frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}\\ & =1-\sum _{j=1}^n(-1{)}^j\frac{j}{\alpha +j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})L_n^{(-j)}(x)\\ & =1-x\sum _{i=1}^n\frac{L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}.\end{array}.$

Pochodne stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a

Podstawowy wzór na pochodną rzędu $k$ stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:

$\frac{d^k}{d{x}^k}{L}_n^{(\alpha )}(x)=(-1{)}^k{L}_{n-k}^{(\alpha +k)}(x).$

W szczególności dla pierwszej pochodnej stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a mamy:

$\frac{d}{dx}{L}_n^{(\alpha )}(x)=-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x).$

Wzór na pochodną rzędu $k$ iloczyn funkcji potęgowej i stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:

$\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{x}^k}\{x^{\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)\}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k})x^{\alpha -k}{L}_n^{(\alpha -k)}(x).$

W szczególności dla pierwszej pochodnej mamy:

$\frac{d}{dx}\{x^{\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)\}=(n+\alpha )x^{\alpha -1}{L}_n^{(\alpha -1)}(x).$

Pochodna stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a względem parametru $\alpha :$

$\frac{d}{d\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{n-i}{L}_n^{(\alpha )}(x).$

Ortogonalność stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są ortogonalne w przedziale $[0;\mathrm{\infty }]$ z funkcją wagową $x^{\alpha }{e}^{-x}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{n,m}.$

W szczególności dla $n=m$ mamy:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha +1}{e}^{-x}{[L_n^{(\alpha )}(x)]}^{2}dx=\frac{(n+\alpha )!}{n!}(2n+\alpha +1).$

Zastosowania

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a pojawiają się w rozwiązaniach równania Helmholza w sferycznym układzie współrzędnych. Występują też w rozwiązaniu równania Schrödingera dla modelu atomu wodoru.

Bibliografia

• Bayin S.S.: Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, (2006).
• Spain B., Smith M.G.: Functions of Mathematical Physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, (1970).
• Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).