Stosunek korelacyjny eta

Stosunek korelacyjny eta (η) – miara zależności używana, gdy jedna ze zmiennych jest zmienną ilościową (na skali przedziałowej lub ilorazowej), a druga zmienną jakościową (na skali nominalnej lub porządkowej).

Wzór

Współczynnik eta można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

$\eta =\sqrt{\frac{\sum _{j=1}^r{n}_j({\bar{y}}_j-\bar{y}{)}^2}{\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n_j}(y_{ji}-\bar{y}{)}^2}},$

gdzie:

$r$ – liczba grup wyznaczona przez zmienną jakościową (liczba kategorii),

$n_j$ – liczebność w $j$-tej grupie,

${\bar{y}}_j$ – średnia wartość zmiennej ilościowej w $j$-tej grupie,

$\bar{y}$ – całościowa średnia wartość zmiennej ilościowej,

$y_{ji}$ – wartość zmiennej ilościowej dla $i$-tej obserwacji w $j$-tej grupie.

Interpretacja i własności

Współczynnik eta podniesiony do kwadratu to współczynnik determinacji eta-kwadrat (${\eta }^2$). Zarówno $\eta$, jak i ${\eta }^2$ przyjmują wartości od 0 do 1.

Podobnie jak współczynnik determinacji $R^2$, eta-kwadrat dostarcza informacji, jaki procent wariancji jest wyjaśniony przez zmienność między grupami.

Współczynnik ${\eta }^2$ jest używany jako jedna z miar wielkości efektu dla analizy wariancji (ANOVA). Wzór na ${\eta }^2$ można zinterpretować jako stosunek zmienności między grupami (sumy kwadratów odchyleń średnich grupowych od średniej ogólnej) do całkowitej zmienności (sumy kwadratów odchyleń od ogólnej średniej).

Jeżeli zmienna jakościowa jest dychotomiczna (zero-jedynkowa) to $\eta$ co do wartości bezwzględnej równa się współczynnikowi korelacji punktowo-dwuseryjnej (czyli współczynnikowi korelacji Pearsona między zmienną ilościową a zero-jedynkową).

Stosunek korelacyjny eta można zastosować do pomiaru zależności zmiennych ilościowych powiązanych krzywoliniowo. W tym celu jedną z tych zmiennych należy potraktować jak zmienną jakościową (jeżeli jest dyskretna z niewielką liczbą kategorii) lub odpowiednio w taką zmienną przekształcić (np. poprzez grupowanie w szereg rozdzielczy przedziałowy).