Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego o postaci ogólnej $\mathrm{\Phi }(x,y,y^{\text{'}},y^{{\text{'}}^{\prime }},\dots ,y^{(n)})=0$Szablon:R – jest to taka funkcja wielokrotnie różniczkowalna $\varphi (x),$ która spełnia to równanie różniczkowe na danym przedziale $D$ (tzn. dla każdego $x\in D$). Podstawienie funkcji $\varphi$ w równanie przekształca je w tożsamość $\mathrm{\Phi }(x,\varphi ,{\varphi }^{\text{'}},{\varphi }^{{\text{'}}^{\prime }},\dots ,{\varphi }^{(n)})\equiv 0.$

Rozwiązaniem ogólnym zwyczajnego równania różniczkowego nazywamy taką funkcję $\psi (x;C),$ że dla każdego $C$ należącego do ustalonego przedziału jest ona rozwiązaniem (szczególnym) danego równania.

Przykład

Funkcja

$\psi (x;C)=C{e}^x$

jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego $y=y^{\prime },$ natomiast każda z funkcji

$e^x,2e^x,7e^x,\sqrt{2}{e}^x$

jest jego rozwiązaniem szczególnym.