Rozkład Voigta

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład Voigta (profil Voigta) – rozkład prawdopodobieństwa otrzymywany przez splot rozkładu Cauchy’ego-Lorentza i rozkładu Gaussa. Jest często stosowany w analizie danych w spektroskopii i dyfrakcji. Rozkład nazwano na cześć Woldemara Voigta.

Definicja

Bez straty ogólności możemy rozważać pod uwagę tylko wycentrowane rozkłady, to jest takie, których punkt największej gęstości jest równy zeru. Rozkład Voigta powstaje w wyniku dodawania zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy’ego i drugiej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, obydwie o medianie zero. Wynika z tego, że gęstość rozkładu Voigta jest splotem gęstości tych rozkładów:

$V_{\sigma ,\gamma }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{G}_{\sigma }(y)L_{\gamma }(x-y)dy,$

gdzie $\sigma ,\gamma$ są parametrami rozkładu Voigta i jednocześnie odpowiednio pierwiastkiem z wariancji rozkładu normalnego oraz czynnikiem skali rozkładu Cauchy’ego. Funkcja $G_{\sigma }$ to gęstość rozkładu normalnego o średniej zero:

$G_{\sigma }(x)=\frac{e^{-x^2/2{\sigma }^2}}{\sigma \sqrt{2\pi }},$

a $L_{\gamma }$ jest wyśrodkowanym rozkładem Cauchy’ego-Lorentza:

$L_{\gamma }(x)=\frac{\gamma }{\pi (x^2+{\gamma }^2)}$.

W przypadkach granicznych $\sigma =0$ i $\gamma =0$ następnie $V_{\sigma ,\gamma }$ upraszcza do odpowiednio $L_{\gamma }$ i $G_{\sigma }.$

Zastosowania

W spektroskopii rozkład Voigta wynika ze splotu dwóch mechanizmów poszerzających linie widmowe, z których jeden ma rozkład normalny (zwykle jest to poszerzenie dopplerowskie), a drugi ma rozkład Lorentza (naturalne poszerzenie widma). Z tego powodu profile Voigta są powszechne w wielu gałęziach spektroskopii i dyfrakcji.