Reguła Masona

Reguła Masona (wzór Masona, ang. Mason’s gain formula, MGF) – metoda znajdowania transmitancji liniowego grafu przepływu sygnałów.

Wstęp

Wzór stanowi alternatywę dla algebraicznej metody znajdywania transmitancji, polega na oznaczeniu każdego sygnału, napisaniu równań opisujących jak sygnał zależy od innych sygnałów, a następnie rozwiązaniu kilku równań dla sygnału wyjściowego w kontekście sygnału wejściowego. Reguła Masona to metoda dochodzenia, krok po kroku, do uzyskania transmitancji z grafu przepływu sygnałów. Często wzór Masona w danym przypadku może być określony po zapoznaniu się z grafem przepływu sygnałów. Metoda ta w prosty sposób pozwala na analizę grafów przepływu sygnałów z wieloma zmiennymi i pętlami zawierającymi pętle w tym pętli zawierających już w sobie wewnątrz pętle. Reguła Masona pojawia się często w zagadnienia teorii sterowania i filtrów cyfrowych dlatego, że układy regulacji i filtry cyfrowe są często przedstawiane za pomocą grafów przepływu sygnałów.

Wzór

Wzór na wzmocnienie przedstawia się następująco:

$G=\frac{y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}=\frac{\sum _{k=1}^N{G}_k{\mathrm{\Delta }}_k}{\mathrm{\Delta }},$

$\mathrm{\Delta }=1-\sum L_i+\sum L_i{L}_j-\sum L_i{L}_j{L}_k+\dots +(-1{)}^m\sum \dots +\dots ,$

gdzie:

• $G$ = całkowite wzmocnienie pomiędzy $y_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ i $y_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$
• $y_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$ = zmienna węzła wyjściowego
• $y_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ = zmienna węzła wejściowego
• $N$ = całkowita liczba ścieżek w przód pomiędzy $y_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ i $y_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$
• $G_k$ = wzmocnienie $k$-tej ścieżki w przód pomiędzy $y_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ i $y_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$
• ${\mathrm{\Delta }}_k$ = współczynnik wartości $\mathrm{\Delta }$ dla $k$-tej ścieżki do przodu, z usuniętymi pętlami stykającymi się z $k$-tą ścieżką w przód – to znaczy: usuwamy te części grafów, które tworzą pętle, pozostawiając części potrzebne dla ścieżki w przód.
• $\mathrm{\Delta }$ = wyznacznik grafu
• $L_i$ = wzmocnienie pętli każdej z zamkniętych pętli w układzie
• $L_i{L}_j$ = iloczyn wzmocnień pętli każdych dwóch (wszystkich zbiorów) niestykających się pętli (niemających wspólnych węzłów)
• $L_i{L}_j{L}_k$ = iloczyn wzmocnień pętli każdych trzech niestykających się pętli

Procedura

Aby skorzystać z omawianej metody:

• Należy przygotować listę wszystkich ścieżek w przód i oznakować je $G_k.$
• Należy:
  • przygotować listę wszystkich pętli i ich wzmocnień i oznakować je $L_i$ (dla $i$ pętli);
  • przygotować listę wszystkich par niestykających się pętli i iloczynów ich wzmocnień $(L_i{L}_j);$
  • przygotować listę wszystkich niestykających się pętli branych za każdym razem potrójnie $(L_i{L}_j{L}_k);$
  • następnie za każdym razem poczwórnie;
  • itd. aż już nie ma nic do wzięcia.
• Obliczyć współczynnik $\mathrm{\Delta }$ i współczynniki ${\mathrm{\Delta }}_k.$
• Zastosować wzór.

Rys historyczny

Wzór został wyprowadzony przez Samuela Jeffersona Masona i opublikowany w 1956 roku.