Równowaga i równoważność

Szablon:Dopracować Równowaga i równoważność – bliskoznaczne pojęcia mechaniki teoretycznej dotyczące działania układu sił skupionych na idealnie sztywne ciała fizyczne^[1]^[2]^[3]. Mówimy, że dwa różne układy sił są równoważne, gdy ich działanie na to samo ciało, w tych samych warunkach, wywołuje identyczne skutki. Jeżeli to działanie jest zerowe, mamy do czynienia ze stanem równowagi ciała. W tym stanie siły działające na ciało równoważą się, tzn. pozostają w równowadze.

Redukcja układu sił do punktu

W przypadku ogólnym dowolny układ sił skupionych ${\vec{𝐅}}_{i}$ działających na ciało nieskończenie sztywne w przestrzeni fizycznej, można zredukować równoważnie do dwu wektorów^[4].

Pierwszy z tych wektorów to tzw. wektor główny układu $\vec{𝐅},$ który jest określony wzorem

(1)

\vec{𝐅} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{𝐅}}_{i} .

Ze wzoru tego wynika, że ten wektor nie zależy od tego jaki punkt obieramy za biegun redukcji układu sił.

Natomiast drugi wektor $\vec{𝐌},$ tzw. główny wektor momentu układu, może być obliczony tylko wówczas, kiedy znany jest biegun redukcji $0$ określony jego współrzędnymi w przyjętym układzie współrzędnych $0 x y z .$ Najczęściej przyjmuje się, że biegun ten pokrywa się z początkiem $0$ układu. W tym przypadku wektor $\vec{𝐌}$ jest określony wzorem

(2)

\vec{𝐌} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{𝐌}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{𝐫}}_{i} \times {\vec{𝐅}}_{i},

w którym ${\vec{𝐫}}_{i}$ jest wektorem wodzącym początku wektora ${\vec{𝐅}}_{i} .$

Wektory $\vec{𝐅}$ i $\vec{𝐌}$ otrzymane w wyniku równoważnej redukcji wyjściowego układu sił do punktu $0$ są najprostszym równoważnikiem tego układu.

Opisany sposób redukcji dowolnego układu sił skupionych został dokonany przy arbitralnie przyjętym położeniu bieguna $0,$ od przyjęcia którego zależy wektor główny $\vec{𝐌}$ momentu układu. Powstaje więc pytanie, w jaki sposób zmiana położenia bieguna wpływa na wynik redukcji danego układu sił.

Ze wzoru (1) wynika, że wektor główny $\vec{𝐅}$ nie zależy od położenia bieguna i nie zmienia ani swojej normy, ani kierunku. Ten wektor jest więc (pierwszym) niezmiennikiem zmiany położenia bieguna $0 .$ Okazuje się, że istnieje jeszcze drugi niezmiennik tej zmiany. Jest nim iloczyn skalarny $\vec{𝐅} \cdot {\vec{𝐌}}_{0} = \vec{𝐅} \cdot {\vec{𝐌}}_{C} = c o n s t .$ Niezmienniczość tę można łatwo wykazać.

Błąd przy generowaniu miniatury:

Rys. 1 – redukcja układu sił do skrętnika

Niech nowym biegunem redukcji będzie punkt $C$ o wektorze wodzącym $\vec{𝟎 𝐂} .$ Wektory $\vec{𝐅}$ i $\vec{𝟎 𝐂}$ wyznaczają płaszczyznę $π .$ Redukcja do punktu $0$ prowadziła do uzyskania wektorów $\vec{𝐅}$ i $\vec{𝐌_{𝟎}},$ a redukcja do punktu $C$ – do uzyskania wektorów $\vec{𝐅}$ i $\vec{𝐌_{𝐂}} .$ Pomiędzy tymi wektorami zachodzi prosty związek

\vec{𝐌_{𝐂}} = \vec{𝐌_{𝟎}} - \vec{𝟎 𝐂} \times \vec{𝐅} .

Mnożąc skalarnie ten związek przez $\vec{𝐅},$ otrzymujemy

\vec{𝐅} \cdot \vec{𝐌_{𝐂}} = \vec{𝐅} \cdot \vec{𝐌_{𝟎}} - \vec{𝐅} \cdot (\vec{𝟎 𝐂} \times \vec{𝐅}) = \vec{𝐅} \cdot \vec{𝐌_{𝟎}} = c o n s t .

Można teraz postawić pytanie: gdzie powinien znaleźć się punkt $C$ tak, aby było

\vec{𝟎 𝐂} \times \vec{𝐅} = \vec{𝐦} .

Biorąc pod uwagę prostopadłość wektorów, otrzymujemy:

\overset{*}{\overline{0 C}} = \frac{| \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐅} |} .

Odległość tę odmierzamy w kierunku wyznaczonym przez wektor $\vec{𝐅} \times {\vec{𝐌}}_{0} .$ Wektor ${\vec{𝐌}}_{S}$ określa wzór

{\vec{𝐌}}_{S} = {\vec{𝐌}}_{0} - \vec{𝐦} = {\vec{𝐌}}_{0} - {\vec{𝟎 𝐂}}^{*} \times \vec{𝐅} .

Redukcja układu sił do tak wyznaczonego punktu $C$ pozwala wyznaczyć dwa wektory: wektor główny $\vec{𝐅}$ i tzw. skrętnik układu ${\vec{𝐌}}_{S}$ (rys. 1).

Redukcja analityczna

Rozważmy w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej nieskończenie sztywną bryłę materialną, na którą działa w sposób statyczny skończona liczba sił skupionych. Analityczny opis działania tych sił wymaga podania współrzędnych każdej siły ${\vec{𝐅}}_{i}$ i jej wektora wodzącego ${\vec{𝐫}}_{i} \equiv \vec{0 A_{i}}$ liczonego od początku $0$ przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich $0 x y z$ do punktu $A_{i}$ przyłożenia siły ${\vec{𝐅}}_{i} .$ Przyjmiemy zatem, że

{\vec{𝐅}}_{i} = [X_{i} Y_{i} Z_{i}], {\vec{𝐫}}_{i} = [x_{i}, y_{i}, z_{i}], i = 1, 2, \dots, n .

W rozważanym przypadku układ sił sprowadzamy do wektora głównego $\vec{𝐅}$ i momentu głównego $\vec{𝐌}$ liczonego względem punktu $0,$ przy czym

(1a)

\vec{𝐅} = [F_{x}, F_{y}, F_{z}], \vec{𝐌} = [M_{x}, M_{y}, M_{z}]

(1b)

\vec{𝐅} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{𝐅}}_{i}, \vec{𝐌} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{𝐌}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{𝐫}}_{i} \times {\vec{𝐅}}_{i} .

Wzory (1) rozpisane we współrzędnych przybierają postać sześciu formuł

(2a)

F_{x} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, F_{y} = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}, F_{z} = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i},

(2b)

M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} Z_{i} - z_{i} Y_{i}), M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} (z_{i} X_{i} - x_{i} Z_{i}),

(2c)

M_{z} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} Y_{i} - y_{i} X_{i}) .

Warunki równowagi układu można teraz zapisać albo wektorowo

(3)

\vec{𝐅} = 𝟎

i

\vec{𝐌} = 𝟎,

albo we współrzędnych

(4)

F_{x} = F_{y} = F_{z} = M_{x} = M_{y} = M_{z} = 0,

korzystając ze wzorów (2).

Interpretacje graficzne

Przedstawimy teraz metody graficzne rzadziej stosowane, a ponadto trudniejsze w realizacji analitycznej. Celem prezentacji jest pokazanie różnych wariantów redukcji ogólnych układów sił do prostszych równoważników.

Metoda 1

Dane są wektory $\vec{𝐅}$ i $\vec{𝐌}$ otrzymane w wyniku redukcji pewnego układu sił do dowolnie obranego punktu $0 .$ Te dwa wektory można teraz zredukować równoważnie do dwóch sił ${\vec{𝐏}}_{1}$ i ${\vec{𝐏}}_{2}$ nie leżących w jednej płaszczyźnie. O takich siłach możemy powiedzieć, że tworzą dwójkę zwichrowaną (wichrowatą).

Plik:Mechanics2.jpg

Rys. 2 – redukcja układu sił do „dwójki zwichrowanej”

P_{1}, P_{2}

W tym celu przez punkt $0$ prowadzimy płaszczyznę $π$ prostopadłą do wektora $\vec{𝐌} .$ Na płaszczyźnie tej umieszczamy parę sił $\vec{𝐒}$ o momencie równym $\vec{𝐌}$ i tak aby punkt $0$ leżał na linii działania jednej z nich. Sumujemy dwa współśrodkowe wektory $\vec{𝐒}$ i $\vec{𝐅}$ i otrzymujemy w ten sposób dwa wektory ${\vec{𝐏}}_{1}$ i ${\vec{𝐏}}_{2}$ nie leżące na jednej płaszczyźnie, czyli zwichrowane i równoważne dwom wektorom wyjściowym $\vec{𝐅}$ i $\vec{𝐌} .$

Metoda 2

Opiszemy teraz inny sposób redukcji dowolnego układu sił ${\vec{𝐅}}_{i}, i = 1, 2, 3, \dots n,$ działających na ciało idealnie sztywne, do równoważnego układu trzech sił ${\vec{𝐖}}_{1}, {\vec{𝐖}}_{2}, {\vec{𝐖}}_{3}$ działających w punktach $0_{1}, 0_{2}, 0_{3}$ nie leżących na jednej prostej.

Siły skupione ${\vec{𝐅}}_{i}$ działają na ciało w punktach $A_{i} .$ Jeżeli teraz przez każdy punkt $A_{i}$ poprowadzimy trzy proste wyznaczone przez odcinki $\overline{0_{1} A_{i}}, \overline{0_{2} A_{i}}, \overline{0_{3} A_{i}},$ to każdą z sił ${\vec{𝐅}}_{i}$ można rozłożyć na trzy składowe $F_{1 i}, F_{2 i}, F_{3 i}$ przechodzące przez punkty $0_{1}, 0_{2}, 0_{3}$ według reguły równoległościanu zbudowanego na wierzchołkach $A_{i}, 0_{1}, 0_{2}, 0_{3} .$ Te składowe można przesunąć po liniach ich działania odpowiednio do punktów $0_{1}, 0_{2}, 0_{3} .$ W ten sposób w punktach $0_{1}, 0_{2}, 0_{3}$ utworzone zostają trzy pęki po $n$ sił koncentrycznych, które można zesumować, otrzymując trzy poszukiwane wektory $\vec{𝐖_{𝟏}}, \vec{𝐖_{𝟐}}, \vec{𝐖_{𝟑}} .$

Na to, aby układ pozostawał w równowadze, muszą być spełnione warunki

\vec{𝐖} = \vec{𝐖_{𝟏}} + \vec{𝐖_{𝟐}} + \vec{𝐖_{𝟑}} = 𝟎,

\vec{𝐌} = \vec{𝐫} \times \vec{𝐖} = {\vec{𝐫}}_{1} \times \vec{𝐖_{𝟏}} + \vec{𝐫_{𝟐}} \times \vec{𝐖_{𝟐}} + \vec{𝐫_{𝟑}} \times \vec{𝐖_{𝟑}} = 𝟎 .

Metoda 3

Jako trzeci ze sposobów redukcji można przytoczyć postępowanie opisane w pkt. 1. Dodatkowo trzeba tu podkreślić, że wyznaczony tam punkt $0$ może być przesuwany po prostej równoległej do osi $0 z$ układu współrzędnych. Prosta ta nosi nazwę osi centralnej układu.

Przypisy

Szablon:Przypisy

↑ А.И. Некрасов, Курс ҭеореҭическоӣ меаники, t. 1, Гос. Издаҭ. ҭөҳнико-теоретичөскоӣ литераҭуры, Мосҝва-Ленинград 1950.
↑ G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN Warszawa 1960.
↑ И.М. Воронҝов, Ҟурс ҭеореҭической механики, Гос. Издаҭ. ҭөҳнико-теоретичөскоӣ литераҭуры, Москва 1954.
↑ L.D. Landau, E.M. Lifšic, S.L. Bażański, Mechanika, PWN, Warszawa 2006.

[1] А.И. Некрасов, Курс ҭеореҭическоӣ меаники, t. 1, Гос. Издаҭ. ҭөҳнико-теоретичөскоӣ литераҭуры, Мосҝва-Ленинград 1950.

[2] G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN Warszawa 1960.

[3] И.М. Воронҝов, Ҟурс ҭеореҭической механики, Гос. Издаҭ. ҭөҳнико-теоретичөскоӣ литераҭуры, Москва 1954.

[4] L.D. Landau, E.M. Lifšic, S.L. Bażański, Mechanika, PWN, Warszawa 2006.

[1]

[2]

[3]

[4]

Równowaga i równoważność

Spis treści

Redukcja układu sił do punktu

Redukcja analityczna

Interpretacje graficzne

Metoda 1

Metoda 2

Metoda 3

Przypisy

Menu nawigacyjne

Równowaga i równoważność

Redukcja układu sił do punktu

Redukcja analityczna

Interpretacje graficzne

Metoda 1

Metoda 2

Metoda 3

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj