Równanie różniczkowe Bessela zmodyfikowane

Równanie różniczkowe Bessela zmodyfikowane (Szablon:Ang.) – równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach wyrażane w postaci:

$z^2\frac{d^{2}f(z)}{d{x}^2}+z\frac{df(z)}{dx}-(z^2+{\nu }^2)f(z)=0,$

gdzie $z$ jest zmienną zespoloną. Parametr rzeczywisty $\nu$ nazywa się czasami rzędem zmodyfikowanego równania Bessela (nie mylić z rzędem równania różniczkowego !). Rozwiązaniami powyższego równania są tzw. zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju argumentu zespolonego $z:$

$I_{\nu }(z),$

$K_{\nu }(z).$

W przypadku, gdy zmienna niezależna w zmodyfikowanym równaniu Bessela jest rzeczywista, mamy:

$x^2\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}+x\frac{df(x)}{dx}-(x^2+{\nu }^2)f(x)=0,$

a rozwiązaniami tego równania są zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju argumentu rzeczywistego $x:$

$I_{\nu }(x),$

$K_{\nu }(x).$

Czasami niezbyt poprawnie zmodyfikowane funkcje Bessela nazywa się funkcjami Bessela urojonego argumentu.

Bibliografia

• G.N. Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
• Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva 1971.
• Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.