Równanie Darcy’ego-Weisbacha

Równanie Darcy’ego-Weisbacha – równanie opisujące spadek ciśnienia płynu powodowanego przez rozpraszanie energii mechanicznej za pośrednictwem tarcia podczas jego przepływu w przewodzie. Nazwa pochodzi od nazwisk dwóch inżynierów, Francuza Szablon:Link-interwiki (1803–1858) i Niemca Szablon:Link-interwiki (1806–1871). Współczesną formę równania podał w roku 1845 WeisbachSzablon:R.

Postać równania

Równanie Darcy’ego-Weisbacha ma następujące równoważne sobie postacie:

$\mathrm{\Delta }p=\lambda \frac{L}{D}\frac{\rho u^2}{2}$

lub

$\mathrm{\Delta }h=\lambda \frac{L}{D}\frac{u^2}{2g},$

gdzie:

$\mathrm{\Delta }p$ – spadek ciśnienia [Pa],

$\mathrm{\Delta }h$ – wysokość strat ciśnienia [m],

$\lambda$ – współczynnik oporu zależny od liczby Reynoldsa Re i chropowatości względnej rury (bezwymiarowy),

$L$ – długość przewoduSzablon:U [m],

$D$ – średnica (ew. zastępcza) przewodu [m],

$\rho$ – gęstość płynu [kg/m³],

$u$ – prędkość płynu [m/s],

$g$ – przyspieszenie ziemskieSzablon:R [m/s²].

Postać rozszerzona

Uwzględniając opory lokalne:

$\mathrm{\Delta }p=\frac{u^2\rho }{2}(\lambda \frac{L}{D}+{\zeta }_1+{\zeta }_2+\dots )$

lub

$\mathrm{\Delta }p=\lambda \frac{L_e}{D}\frac{u^2\rho }{2};L_e=L+(n_1+n_2+\dots )D,$

gdzie zarówno ${\zeta }_i,$ jak i $n_i$ nazywane są współczynnikami oporów lokalnych i są one zestawione w tablicachSzablon:R.

Liczba Reynoldsa

Liczba Reynoldsa dla przepływu w przewodzie zamkniętym dana jest wzorem:

$\mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{uD\rho }{\eta },$

gdzie:

$D$ – średnica hydrauliczna przewodu [m],

$u$ – średnia prędkość płynu [m/s],

$\rho$ – gęstość płynu [kg/m³],

$\eta$ – lepkość dynamiczna płynu [Pa s].

Współczynnik oporu

Dla Re < 2100:

$\lambda =\frac{a}{\mathrm{R}\mathrm{e}}$

Czynnik $a$ wynosi dla przewodów:

• kołowych $a=64,$
• kwadratowych $a=57,$
• pierścieniowych $a=96,$
• prostokątnych o stosunku boków 1:2 $a=59.$

Dla rury gładkiej oraz 3×10³ < Re < 10⁵ stosuje się powszechnie tzw. wzór Blasiusa:

$\lambda =\frac{0,3164}{\sqrt[4]{\mathrm{R}\mathrm{e}}}.$

Dla rur o chropowatości(k) i przepływie z liczbą Re > 3×10³ (wzór Colebrooka-White’a):

$\frac{1}{\sqrt{\lambda }}=-2\lg (\frac{2,5}{\mathrm{R}\mathrm{e}\sqrt{\lambda }}+\frac{k}{3,7d}),$

gdzie:

$d$ – średnica rury.

Wzór ten by obliczyć współczynnik oporu wymaga zastosowania metod numerycznych. By w łatwiejszy sposób obliczyć ten współczynnik powstało wiele innych wzorów upraszczających powyższy.

Dla 10⁵ < Re < 10⁸ istnieje wiele konkurencyjnych wzorów empirycznych, z których najpopularniejszym jest:

$\lambda =0,0032+\frac{0,221}{{\mathrm{R}\mathrm{e}}^{0,237}}.$

Bibliografia

• Janusz Ciborowski, Inżynieria procesowa, WNT, Warszawa 1973, wydanie drugie.
• Krystyna Jeżowiecka-Kabsch, Henryk Szewczyk,Mechanika płynów, OWPW, Wrocław 2001.