Równanie Burgersa

Szablon:Dopracować Równanie Burgersa – jedno z fundamentalnych równań różniczkowych cząstkowych mechaniki płynów. Występuje w wielu dziedzinach matematyki i fizyki, np. w modelach dynamiki gazów i ruchu ulicznego. Nazwa równania upamiętnia holenderskiego fizyka Johannesa Martinusa Burgersa (1895–1981), który jako pierwszy badał to równanie.

Definicja

Równanie Burgersa w ogólnej postaci jest nieliniowym, parabolicznym równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu na jedną funkcję $u$ dwóch zmiennych niezależnych $t$ i $x:$

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}.$

gdzie:

$t$ – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako czas,

$x$ – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako położenie,

$u$ – zmienna zależna zwykle interpretowana jako prędkość płynu w $(x,t),$

$\nu$ – stały parametr, zwykle interpretowany jako lepkość płynu.

Pierwszy z członów równania Burgersa opisuje zmianę prędkości płynu w danym punkcie przestrzeni. Drugi człon jest nieliniowym wyrażeniem opisującym konwekcję płynu (tzw. człon konwekcyjny). Prawa strona równania opisuje dyssypację energii (człon lepkościowy).

Dla $\nu =0$ równanie Burgersa upraszcza się do tzw. nielepkiego równania Burgersa:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.$

Równanie to jest prototypem (tj. modelowym przykładem) równań różniczkowych cząstkowych, których rozwiązania mogą posiadać nieciągłości (odpowiadające falom uderzeniowym).

Linki zewnętrzne

• Równanie Burgersa w serwisie EqWorld: The World of Mathematical Equations.