Quasi-pochodna

Quasi-pochodna – jedno z uogólnień pochodnej funkcji między przestrzeniami Banacha. Quasi-pochodną można postrzegać jako silniejszą wersję pojęcia pochodnej Gâteaux, lecz z kolei słabsze niż pochodna Frécheta (w sensie opisanym niżej).

Definicja

Niech $f:A\to F$ będzie funkcją ciągłą ze zbioru otwartego $A$ z przestrzeni Banacha $E$ w inną przestrzeń Banacha $F.$ Quasi-pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0\in A$ nazywa się przekształcenie liniowe $u:E\to F$ o następującej własności:

dla każdej funkcji ciągłej $g:[0,1]\to A,$ przy czym $g(0)=x_0,$ takiej, że istnieje $g^{\prime }(0)\in E$ zachodzi

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(g(t))-f(x_0)}{t}=u(g^{\prime }(0)).$

Jeżeli takie przekształcenie liniowe $u$ istnieje, to funkcję $f$ nazywa się quasi-różniczkowalną w punkcie $x_0.$

Własności

Założenie ciągłości $u$ jest zbędne, gdyż wynika z definicji. Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie $x_0,$ to na mocy reguły łańcuchowej $f$ jest również quasi-różniczkowalna, a jej quasi-pochodna w punkcie $x_0$ jest równa pochodnej Frécheta w tym punkcie. Implikacja odwrotna zachodzi, o ile tylko $E$ jest skończonego wymiaru. Jeżeli $f$ jest quasi-różniczkowalna, to jest ona także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jej pochodna Gâteaux jest równa quasi-pochodnej tej funkcji.

Literatura

• Szablon:Cytuj książkę