Procent składany

Procent składany – sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym. Zastosowanie reguły procentu składanego daje szybszy wzrost wartości kapitału niż zastosowanie procentu prostego. Im częstsza kapitalizacja, tym kapitał wzrasta szybciej. Przypadek graniczny, w którym odstęp między kapitalizacjami maleje do zera, nosi nazwę kapitalizacji ciągłej.

Obliczanie procentu składanego

Oznaczenia

• $V_0$ – kapitał początkowy zwany wartością bieżącą,
• $V$ – kapitał końcowy, inaczej: kapitał po $n$ latach, wartość przyszła,
• $m$ – liczba kapitalizacji w roku lub równoważnie liczba okresów oprocentowania w roku (np. jeśli kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, przyjmujemy $m=2;$ jeśli kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, przyjmujemy $m=4$),
• $n$ – liczba lat do zapadalności depozytu. Zakładamy, że długość okresu do zapadalności jest wielokrotnością długości okresów oprocentowania,
• $r$ – nominalna roczna stopa procentowa w postaci ułamka dziesiętnego (np. jeśli $r=5\mathrm{\%},$ to wstawić należy do poniższych wzorów ułamek dziesiętny $0,05$),
• $e$ – liczba Eulera.

Kapitalizacja roczna

Kapitalizacja następuje tylko raz w roku, czyli $m=1:$

$V=V_0\cdot {(1+r)}^n.$

Kapitalizacja podokresowa

Kapitalizacja następuje częściej niż raz w roku, czyli $m>1:$

$V=V_0\cdot {(1+\frac{r}{m})}^{mn}.$

Kapitalizacja roczna w warunkach inflacji

Kapitalizacja następuje raz w roku, przy inflacji rocznej i:

$V=V_0\cdot {(1+r^{\prime })}^n{r}^{\prime }=\frac{r-i}{1+i}.$

gdzie:

$r^{\prime }$ – realna stopa procentowa.

Kapitalizacja ciągła

Kapitalizacja następuje nieskończenie wiele razy w roku, czyli $m\to \mathrm{\infty }$:

$V=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_0{(1+\frac{r}{m})}^{mn}=V_0{\left(\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{r}{m})}^m\right)}^n=V_0\cdot e^{rn}$

Zobacz też

• anatocyzm
• dyskonto rzeczywiste składane
• efekt kuli śnieżnej
• reguła 72

Bibliografia

• Maria Podgórska, Joanna Klimkowska, Matematyka finansowa. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2005.