Prędkość polowa

Prędkość polową reprezentuje zielone pole

Prędkość polowa – stosunek pola powierzchni figury ograniczonej torem ruchu ciała poruszającego się wokół jakiegoś punktu (ogniska) (łukiem), przebytym w pewnym czasie i odległościami od końców toru (łuku) do ogniska, do tego czasu.

Pole zakreślone przez wektor położenia względem punktu A określa wzór:

$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}(ABC)=\frac{\overrightarrow{r}(t)\times \overrightarrow{r}(t+\mathrm{\Delta }t)}{2}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}.$

Szybkość przyrostu pola zakreślanego przez wektor położenia:

$\begin{array}{cc}\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{r}(t)\times \overrightarrow{r}(t+\mathrm{\Delta }t)}{2\mathrm{\Delta }t}\\ [.2em]& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{r}(t)\times [\overrightarrow{r}(t)+\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)\mathrm{\Delta }t]}{2\mathrm{\Delta }t}\\ [.2em]& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{r}(t)\times \overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)}{2}\left(\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}\right)\\ [.2em]& =\frac{\overrightarrow{r}(t)\times \overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)}{2}.\end{array}$

Ale $\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)$ jest wektorem prędkości $\overrightarrow{v}(t)$ poruszającego się punktu, dlatego:

$\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}=\frac{\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}}{2}.$

Zobacz też

• prawa Keplera