Okrąg Apoloniusza

Plik:Apollonius circle definition labels.svg

Okrąg Apoloniusza – zbiór punktów, dla których stosunek odległości od pewnych dwóch ustalonych punktów jest stały i różny od jeden^[1]. Nazwany tak na cześć Apoloniusza z Pergi, który badał krzywe stożkowe.

Dowód oparty na użyciu działań wektorowych w przestrzeni euklidesowej

Niech $d_{1},$ $d_{2}$ będą nierównymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Niech C będzie wewnętrznym punktem podziału AB w stosunku $d_{1} : d_{2}$ i D zewnętrzny punkt podziału AB w tym samym stosunku, $d_{1} : d_{2}$

\vec{P C} = \frac{d_{2} \vec{P A} + d_{1} \vec{P B}}{d_{2} + d_{1}}, \vec{P D} = \frac{d_{2} \vec{P A} - d_{1} \vec{P B}}{d_{2} - d_{1}} .

Następnie,

P A : P B = d_{1} : d_{2}

\Leftrightarrow d_{2} | \vec{P A} | = d_{1} | \vec{P B} |

\Leftrightarrow d_{2}^{2} | \vec{P A} |^{2} = d_{1}^{2} | \vec{P B} |^{2}

\Leftrightarrow (d_{2} \vec{P A} + d_{1} \vec{P B}) \cdot (d_{2} \vec{P A} - d_{1} \vec{P B}) = 0

\Leftrightarrow \frac{d_{2} \vec{P A} + d_{1} \vec{P B}}{d_{2} + d_{1}} \cdot \frac{d_{2} \vec{P A} - d_{1} \vec{P B}}{d_{2} - d_{1}} = 0

\Leftrightarrow \vec{P C} \cdot \vec{P D} = 0

\Leftrightarrow \vec{P C} = \vec{0} \lor \vec{P D} = \vec{0} \lor \vec{P C} ⊥ \vec{P D}

\Leftrightarrow P = C \lor P = D \lor ∠ C P D = 9 0^{\circ} .

Dlatego punkt P znajduje się na okręgu o średnicy CD.

Zobacz też

miejsce geometryczne

Przypisy

Szablon:Przypisy

Linki zewnętrzne

Szablon:Pismo Delta
Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-07].

Szablon:Okręgi

↑ Szablon:Encyklopedia PWN

[epwn-1] Szablon:Encyklopedia PWN

[1]

Okrąg Apoloniusza

Spis treści

Dowód oparty na użyciu działań wektorowych w przestrzeni euklidesowej

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Okrąg Apoloniusza

Dowód oparty na użyciu działań wektorowych w przestrzeni euklidesowej

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj