Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga wprowadzona została do robotyki w celu uproszczenia opisu „mechanicznych ramion”. W uproszczeniu przedstawia ona sposób na przejście od początku do końca układu połączonych ze sobą obiektów (które mogą być liniami prostymi, prostopadłościanami itp.).

Przykład:

Notacja Denavita-Hartenberga dla wahadła podwójnego

Na rysunku przedstawione zostało podwójne wahadło. Notacja Denavita-Hartenberga pozwala opisać sposób przemieszczenia się z punktu zaczepienia pierwszego wahadła (punktu 0), do punktu zaczepienia drugiego ramienia (punktu 1). W notacji Denavita-Hartenberga przedstawia się to jako:

$RotZ(q_1)TrX(l_1)RotZ(q_2)TrX(l_2),$

gdzie:

$RotZ$ oraz $TrX$ są symbolami macierzy transformacji elementarnych,

$q_1,q_2$ określają kąt o jaki obrócone są wahadła,

$l_1,l_2$ są długością wahadeł.

Notacja ta pozwala za pomocą macierzy przedstawić algorytm przemieszczenia, umożliwiający wyznaczenie zależności położenia punktu końcowego od położenia punktów pośrednich.

W robotyce jednym ze sposobów wyznaczenia położenia poszczególnych ogniw manipulatora jest użycie notacji Denavita-Hartenberga (D-H). Metoda ta jest bardzo prosta w zastosowaniu oraz w implementacji w programie komputerowym i pozwala opisać prawie każdy otwarty łańcuch kinematyczny. W celu zastosowania tej metody na początku wyznacza się macierze przejścia pomiędzy kolejnymi elementami łańcucha. W ogólności pojedyncza macierz transformacji z układu $A_{i-1}$ w $A_i$ przedstawiona jest jako

$A_{i-1}^i=RotZ({\theta }_i)TranZ(d_i)TranX(a_i)RotX({\alpha }_i),$

gdzie:

$a_i,d_i,{\alpha }_i$ – parametry geometryczne,

${\theta }_i=q_i$ – zmienna przegubowa

dla przegubu obrotowego oraz

${\theta }_i,a_i,{\alpha }_i$ – parametry geometryczne,

$d_i=q_i$ – zmienna przegubowa

dla przegubu przesuwnego. Symbole RotZ, TranZ, TranX oraz RotX oznaczają elementarne macierze transformacji.

Złożenie transformacji $A_{i-1}^i$ dla całego łańcucha kinematycznego pozwala wyznaczyć odwzorowanie K: $\mathbb{Q}\to 𝕊𝔼(3)$

$K(q)=A_0^N(q)=\prod _{i=1}^N{A}_{i-1}^i(q_i),q=(q_1,q_2,\dots ,q_N{)}^T\in \mathbb{Q},$

gdzie:

$\mathbb{Q}$ – symbol przestrzeni współrzędnych wewnętrznych,

$q$ – wektor współrzędnych wewnętrznych,

$𝕊𝔼(3)$ – symbol specjalnej grupy euklidesowej.

Kinematyka manipulatora ma postać $K(q)=\left[\begin{array}{cc}R(q)& T(q)\\ 0& 1\end{array}\right],$

gdzie wektor $T(q)$ określa położenie efektora wyrażone w bazowym układzie współrzędnych, natomiast macierz $R(q)$ określa jego orientację w przestrzeni również wyrażoną w bazowym układzie współrzędnych.