Niestabilność Jeansa

Niestabilność Jeansa – zależność opisująca warunki jakie muszą być spełnione do zapadania grawitacyjnego obłoków materii i formowania się gromad galaktyk, galaktyk, gwiazd, planet itp. Zapadanie obłoku zachodzi, gdy obłok gazu nie jest w stanie zachować równowagi hydrostatycznej, którą dla jednorodnego kulistego obłoku określa wzór:

$\frac{dp}{dr}=-\frac{G\rho M_{ob}}{r^2},$

gdzie:

$M_{ob}$ – masa części obłoku od jego środka do rozważanego miejsca,

$p$ – ciśnienie w analizowanym miejscu,

$\rho$ – gęstość,

$G$ – stała grawitacji,

$r$ – promień, odległość od środka obłoku do analizowanego miejsca.

Równowaga jest trwała (stabilna), jeżeli małe zaburzenia są wygaszane w czasie, natomiast niestabilna, kiedy ulegają wzmocnieniu. Ogólnie chmura jest niestabilna, jeśli jest albo bardzo masywna w danej temperaturze, albo bardzo chłodna przy danej masie; w tych okolicznościach ciśnienie gazu nie może pokonać grawitacji i chmura zapadnie się.

Masa Jeansa

Masa Jeansa została nazwana na cześć brytyjskiego fizyka Sir Jamesa Jeansa, który badał zjawisko kolapsu grawitacyjnego obłoków gazu. Jeans pokazał, iż w pewnych warunkach, obłok gazu lub jego część, może stać się niestabilny i zacząć się zapadać, jeżeli gradient ciśnienia nie będzie w stanie zrównoważyć siły grawitacji. Ponadto pokazał, że dla ustalonych parametrów fizycznych obłoku (tj. temperatura, gęstość itp.), istnieje ściśle określona masa, po przekroczeniu której obłok ulega zapadaniu i będzie się kurczył, dopóki wytworzone ciśnienie nie przeciwstawi się kolapsowi. Jeans podał wzór pozwalający określić stabilność obłoku tylko na podstawie jego gęstości i temperatury.

Przybliżoną masę krytyczną można wydedukować z rozważań fizycznych. Niech obłok gazu będzie jednorodną kulą o promieniu $R,$ masie $M$ oraz określonej gęstości i ciśnieniu, wyrażonymi przez prędkość dźwięku $c_s.$ Jeżeliby w niewielkim stopniu ścisnąć hipotetyczny obłok i pozostawić działaniu ciśnienia, to fale ciśnienaia (dźwiękowe) odbudowywać stan równowagi (zmieniając gradient ciśnienia). Czas dotarcia zmiany do środka obłoku zależy od prędkości dźwięku w gazie:

$t_{dzw}=\frac{R}{c_s}\approx 0,5\text{ Myr}\cdot \frac{R}{0.1\text{ pc}}\cdot {\left(\frac{c_s}{0,2{\text{ km s}}^{-1}}\right)}^{-1}$

Równocześnie siła grawitacji będzie próbowała jeszcze bardziej ścisnąć obłok w skali czasowej spadku swobodnego:

$t_{ff}=\frac{1}{(G\rho {)}^{\frac{1}{2}}}\approx 2\text{ Myr}\cdot {\left(\frac{n}{10^3{\text{ cm}}^{-3}}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

gdzie:

$G$ – stała grawitacji,

$\rho$ – gęstość,

$n$ – koncentracja cząsteczek gazu.

W zależności od tego, która skala czasowa jest krótsza, obłok będzie:

• stabilny – $t_{dzw}<t_{ff},$ oscylacje ciśnienia przywrócą stan równowagi,
• niestabilny – $t_{dzw}>t_{ff},$ siła grawitacji przeważy i obłok zapadnie się.

Wychodząc z warunku niestabilności $(t_{dzw}>t_{ff}),$ można pokazać, iż istnieje pewna charakterystyczna długość $R_J$

$R_J=\frac{c_s}{(G\rho {)}^{\frac{1}{2}}}\approx 0,4\text{ pc}\cdot \frac{c_s}{0,2{\text{ km s}}^{-1}}\cdot {\left(\frac{n}{10^3{\text{ cm}}^{-3}}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

zwana długością Jeansa.

Wszystkie jednorodne, sferycznie symetryczne obłoki materii o promieniu $R>R_J$ są niestabilne grawitacyjnie.

Z założenia jednorodności i sferycznej symetrii obłoku można, na podstawie długości Jeansa, wyprowadzić wzór na masę krytyczną:

$M_J=\frac{4\pi }{3}\rho {\left(\frac{R_J}{2}\right)}^3=\frac{\pi }{6}\cdot \frac{c_s^3}{G^{\frac{3}{2}}{\rho }^{\frac{1}{2}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot {\left(\frac{c_s}{0,2{\text{ km s}}^{-1}}\right)}^3{\left(\frac{n}{10^3{\text{cm}}^{-3}}\right)}^{-\frac{1}{2}}.$

Zobacz też

• granica Chandrasekhara
• granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa