Nierówność Markowa

Nierówność Markowa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej $X$ o wartości oczekiwanej $E(X)$ i dla każdego $\epsilon >0$ oraz $p>0:$

$P(|X|⩾\epsilon )⩽\frac{E(|X{|}^p)}{{\epsilon }^p}.$

Dowód

Nierówność Markowa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa $|X{|}^p$ zamiast $X$ oraz ${\epsilon }^p$ zamiast $\epsilon ,$ której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak, ponieważ dla $p>0$ zachodzi $|X{|}^p⩾{\epsilon }^p⟺X⩾\epsilon$ (w założeniach nierówności Czebyszewa było $X⩾0$).

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa
• nierówność Czebyszewa-Bienayme
• wykładnicza nierówność Czebyszewa