Nierówność Lévy’ego

Nierówność Lévy’ego jest jedną z nierówności maksymalnych.

Służy do szacowania prawdopodobieństwa, że $\underset{1⩽k⩽n}{\max }|S_k|$ jest większe lub równe od pewnej ustalonej liczby rzeczywistej (gdzie $S_k$ to suma niezależnych symetrycznych zmiennych losowych) przez prawdopodobieństwo, że ostatnia z tych sum – $S_n$ jest większa lub równa niż ta sama liczba rzeczywista (z dokładnością do stałej).

Twierdzenie

Niech $X_i$ będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi. Niech $S_k=\sum _{i=1}^k{X}_i.$ Wówczas dla $s>0$ zachodzi

$P(\underset{1⩽k⩽n}{\max }|S_k|⩾s)⩽2P(|S_n|⩾s)$

Dowód

Oznaczmy $A_k=\{|S_1|<s,|S_2|<s,\dots ,|S_{k-1}|<s,|S_k|⩾s\}.$

Zauważmy, że $A_k\subset (A_k\cap \{|S_k+(S_n-S_k)|⩾s\})\cup (A_k\cap \{|S_k-(S_n-S_k)|⩾s\}).$

Ponieważ zmienne $X_k$ są symetryczne, więc łączny rozkład $(S_1,S_2,\dots ,S_k,(S_n-S_k))$ jest identyczny jak łączny rozkład $(S_1,S_2,\dots ,S_k,-(S_n-S_k)).$

Zatem $P(A_k)⩽2P(A_k\cap \{|S_n|>s\}).$

Otrzymujemy więc tezę:

$P(\underset{1⩽k⩽n}{\max }|S_k|⩾s)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k)⩽2\sum _{k=1}^{n}P(A_k\cap \{|S_n|>s\})⩽2P(|S_n|⩾s)$