Nierówność Bernoulliego

Ilustracja nierówności Bernoulliego z wykresami: $y=(1+x{)}^r$ i $y=1+rx$ pokazanymi odpowiednio na czerwono i niebiesko. W tym przypadku $r=3.$

Nierówność Bernoulliego – jedna z najbardziej znanych i podstawowych nierówności w matematyce. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Jakoba Bernoulliego, który wykorzystywał tę nierówność w swoich badaniach.

Sformułowanie

Jeżeli $x⩾-1,$ to:

$(1+x{)}^{\alpha }⩽1+\alpha x\text{dla}0<\alpha ⩽1$

oraz:

$(1+x{)}^{\alpha }⩾1+\alpha x\text{dla}\alpha ⩾1$

Dla $\alpha =1$ obie strony nierówności są równe, natomiast dla $\alpha \ne 1$ równość w każdej z nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0.$

Szczególny przypadek nierówności Bernoulliego otrzymuje się dla $\alpha$ będącego liczbą naturalną – często mianem nierówności Bernoulliego określa się tę jej szczególną wersję:

$(1+x{)}^n⩾1+nx$

dla $n$ naturalnych.