Model ARCH

Model ARCH (Szablon:Ang., model autoregresji z heteroskedastycznością warunkową) – model ekonometryczny służący do analizy szeregów czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej zmienności cen instrumentów finansowych.

W modelu ARCH zakłada się, że wariancja błędu losowego w danym okresie jest funkcją wartości błędów losowych w okresach poprzednich.

Model ARCH został po raz pierwszy zaproponowany w 1982 roku przez amerykańskiego ekonomistę, Roberta Engle, za co został on uhonorowany w 2003 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii.

Definicja

Model ARCH rzędu p, co zapisuje się zazwyczaj jako ARCH(p), zdefiniowany został przez Engle’a przy pomocy następujących dwóch zależności:

1. $y_t|{\psi }_{t-1}\sim N(0,h_t),$
2. $h_t=h(y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p},\alpha ).$

Z równań tych wynika, że zmienna losowa $y_t$ ma wartość oczekiwaną równą zero, oraz wariancję, która zależy od realizacji zmiennych losowych y w p poprzednich okresach. We współczesnych zastosowaniach najczęściej zakłada się, że funkcja $h_t=h(y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p},\alpha )$ ma postać:

$h_t={\alpha }_0+{\alpha }_1{y}_{t-1}^2+\dots +{\alpha }_p{y}_{t-p}^2={\alpha }_0+\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{y}_{t-i}^2$ gdzie ${\alpha }_0>0$ oraz ${\alpha }_i⩾0,i>0.$

Przykładowo model ARCH(1) można zapisać jako:

1. $y_t={ϵ}_t{h}_t^{1/2},$
2. $h_t={\alpha }_0+{\alpha }_1{y}_{t-1}^2$ gdzie ${ϵ}_t\sim N(0,1).$

Model GARCH

Model ARCH można uogólnić na model GARCH (skrót od ang. Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, uogólniony ARCH), w którym dodatkowo wprowadza się bezpośrednią zależność od poprzednich wartości $h_t.$ Model GARCH(p,q) opisuje się szeregiem

$h_t={\alpha }_0+\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{y}_{t-i}^2+\sum _{i=1}^p{\beta }_i{h}_{t-i}$ gdzie ${\alpha }_0>0$ i ${\alpha }_i⩾0,i>0,$ oraz ${\beta }_i⩾0$

(niektóre źródła definiują model i stosują konwencję ze zamienionych miejscami indeksami p i q).

Czasami znosi się ograniczenie na współczynniki ${\beta }_i,$ ale wprowadza to problem w postaci możliwych ujemnej wartości $h_t,$ co nie jest w pełni sensowne.

W 1986 roku Bollerslev opublikował artykuł, w którym wprowadził uogólniony model ARCH (generalized ARCH, GARCH), wzorując się na relacji między modelami AR i ARMA. Okazało się, że model ten stał się bardziej przydatny w praktyce niż wcześniejszy ARCH na skutek tego, iż: procesy finansowe wymagają dużych rzędów opóźnień dla prawidłowego modelowania; estymacja parametrów modelu ARCH prowadziła do załamania założeń o nieujemności wariancji warunkowej; model GARCH lepiej niż ARCH dostosowuje się do opisu rozkładów o grubych ogonach.

Najczęściej, model GARCH stosuje się wtedy, gdy liczba opóźnień w modelu ARCH jest zbyt duża, a także wówczas, gdy kryteria doboru modeli (np. Schwarza), wskazują na przewagę modelu GARCH nad ARCH.

Zobacz też

• heteroskedastyczność

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo