Metoda podziału operatora

Metoda podziału operatora – w mechanice kwantowej podstawowa metoda numeryczna rozwiązywania równania Schrödingera zależnego od czasu. Polega na zastąpieniu potencjału w równaniu Schrödingera jego postacią spróbkowaną.

Niech równanie Schrödingera zależne od czasu będzie dane w ogólnej postaci $(\hslash =1):$

$\hat{H}|\psi (t)⟩=i\frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩,$

gdzie:

$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}$

z ogólnym rozwiązaniem

$|\psi (t)⟩=e^{-i\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(\tau )d\tau }|\psi (0)⟩.$

Wtedy zastępujemy potencjał potencjałem spróbkowanym

$V(t)\approx \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-n\mathrm{\Delta }t)V(t)\mathrm{\Delta }t.$

Umożliwia to scałkowanie równania dokładnie w każdym przedziale pomiędzy funkcjami $\delta$ tzn.

$|\psi (t)⟩=e^{-i\hat{V}(0)\mathrm{\Delta }t/2}{e}^{-i\hat{T}\mathrm{\Delta }t}{e}^{-i\hat{V}(\mathrm{\Delta }t)\mathrm{\Delta }t}...e^{-i\hat{T}\mathrm{\Delta }t}{e}^{-i\hat{V}(n\mathrm{\Delta }t)\mathrm{\Delta }t/2}|\psi (0)⟩.$

Każdy z kroków w tym wyrażeniu jest łatwy do wykonania numerycznie. Aby jeszcze obniżyć błąd, pomija się energię kinetyczną dla członu zerowego, tzn. w chwili $t=0$ oraz w zerowym i ostatnim członie używa się połowy potencjału.