Metoda WKB

Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału.

Niech stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+V(x)\psi =E\psi .$

Dla $V(x)=0$ rozwiązaniami są fale płaskie dane przez

$\psi =e^{ikx}.$

Dla dowolnego potencjału $V(x)$ można założyć podobną postać funkcji falowej, tzn.

$\psi =e^{iS(x)/\hslash },$

czyli tak, jakby pęd k był lokalny i był funkcją położenia $k(x)=S(x)/x.$

Zakładając ponadto

$S(x)=S_0(x)+\hslash S_1(x)+...$

i zbierając wyrazy w najniższym rzędzie $\hslash$ otrzymujemy układ równań

${\left(\frac{\partial S_0}{\partial x}\right)}^2=2m[E-V(x)],$

$i\frac{{\partial }^2{S}_0}{\partial x^2}-2\frac{\partial S_0}{\partial x}\frac{\partial S_1}{\partial x}=0.$

Z rozwiązaniami

$\psi (x)=C{e}^{\pm i{\int }^x\sqrt{2m[E-V(x)]}dx}/{[2m(E-V(x))]}^{1/4}E>V(x),$

$\psi (x)=C{e}^{\pm {\int }^x\sqrt{2m[V(x)-E]}dx}/{[2m(V(x)-E)]}^{1/4}E<V(x).$

Do wyznaczenia pozostają teraz energie, które muszą być dyskretne dla stanów związanych. Niech $x_1,$ $x_2$ będą tzw. punktami powrotu, tzn. punktami których nie mogłaby przekroczyć cząstka klasyczna o znikającej podczas oscylacji energii kinetycznej:

$V(x_i)=E.$

Na wzór najprostszej kwantyzacji atomu Bohra energie stanów związanych znajdujemy z warunku wartości całki lokalnego pędu $\partial S_0(x)/\partial x$ po wymiarze liniowym $x$ oscylatora harmonicznego, zakładając że wszystkie potencjały są w sensie wartości tej całki harmoniczne, tzn.

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{2m[E_n-V(x)]}dx=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{2m[E_{hn}-m{\omega }^2{x}^2/2]}dx$

a

$E_{hn}=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$ są dokładnymi energiami oscylatora harmonicznego.

Całka ta dla oscylatora daje się łatwo policzyć ponieważ wyraża pole półkola o promieniu proporcjonalnym do energii $E_{hn}$ i otrzymujemy dla dowolnego potencjału:

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{2m[E_n-V(x)]}dx=\pi \hslash (n+\frac{1}{2})n=0,1,2...$

Aby otrzymać energie stanów związanych w metodzie WKB należy:

1. Wyznaczyć punkty powrotu jako funkcje energii $E$
2. Obliczyć całkę pędu lokalnego w funkcji energii.
3. Rozwiązać otrzymane równanie na energie $E$ z warunku kwantyzacji.

Literatura

• I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów – mechanika falowa, PWN, 2001.