Metoda Bogackiego-Shampine’a

Metoda Bogackiego-Shampine’a – metoda numeryczna do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci $y^{\prime }=f(t,y)$ zaproponowana przez Przemysława Bogackiego i Lawrence’a Shampine’a w 1989. Metoda Bogackiego-Shampine’a jest metodą Rungego-Kutty trzeciego rzędu z czterema współczynnikami $k$ (patrz dalej) z tzw. własnością pierwszy taki jak ostatni (ang. FSAL, first same as last), dzięki której w każdej iteracji funkcja $f$ wywoływana jest trzykrotnie. Metoda ta ma wbudowaną metodę rzędu drugiego dzięki czemu możliwa jest adaptacyjna zmiana kroku całkowania. Metoda Bogackiego-Shampine’a zaimplementowana jest jako funkcja ode23 w programie MATLAB.

W ogólności metody niższego rzędu są bardziej odpowiednie niż algorytmy wyższego rzędu jak np. Metoda Dormanda-Prince’a (piątego rzędu) do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych, jeśli nie jest wymagana wysoka dokładność rozwiązania przybliżonego. Bogacki i Shampine twierdzą ponadto, że zaproponowana przez nich metoda przewyższa inne metody trzeciego rzędu z osadzonym metodami rzędu drugiego.

Tabela Butchera dla metody Bogackiego-Shampine’a wygląda następująco:

0
1/2	1/2
3/4	0	3/4
1	2/9	1/3	4/9
	2/9	1/3	4/9	0
	7/24	1/4	1/3	1/8

Rozważmy równanie różniczkowe w postaci $y^{\prime }=f(t,y).$ Jeśli $y_n$ oznacza numeryczne rozwiązanie w chwili $t_n,$ zaś $h_n$ jest krokiem czasowym zdefiniowanym jako $h_n=t_{n+1}-t_n,$ wtedy jeden krok metody Bogackiego-Shampine’a jest dany jako:

$\begin{array}{cc}{k}_1& =f(t_n,y_n)\\ k_2& =f(t_n+\frac{1}{2}{h}_n,y_n+\frac{1}{2}h{k}_1)\\ k_3& =f(t_n+\frac{3}{4}{h}_n,y_n+\frac{3}{4}h{k}_2)\\ y_{n+1}& =y_n+\frac{2}{9}h{k}_1+\frac{1}{3}h{k}_2+\frac{4}{9}h{k}_3\\ k_4& =f(t_n+h_n,y_{n+1})\\ z_{n+1}& =y_n+\frac{7}{24}h{k}_1+\frac{1}{4}h{k}_2+\frac{1}{3}h{k}_3+\frac{1}{8}h{k}_4.\end{array}$

gdzie $z_{n+1}$ jest przybliżeniem drugiego rzędu rozwiązania dokładnego. Sposób obliczania $y_{n+1}$ został wybrany za Ralstonem. Z drugiej strony $y_{n+1}$ jest przybliżeniem trzeciego rzędu, więc różnica pomiędzy $y_{n+1}$ i $z_{n+1}$ może być użyta do adaptacyjnej zmiany długości kroku całkowania. Właściwość FSAL (pierwszy jak ostatni) oznacza, że $k_4$ w danym kroku jest równa $k_1$ w kroku następnym, stąd tylko trzy wywołania funkcji $f$ są potrzebne w każdej iteracji.