MSK (modulacja)

Szablon:Inne znaczenia MSK (ang. Minimum Shift Keying) – odmiana modulacji FSK fal elektromagnetycznych stosowana do przesyłu informacji w telekomunikacji. Jest to w praktyce modulacja CPFSK (ang. Continuous Phase FSK), czyli kluczowanie częstotliwości z ciągłą fazą. Charakteryzuje się dobrymi właściwościami energetycznymi.

W cyfrowej modulacji częstotliwościowej, wartościom „0” i „1” odpowiadają dwa sygnały o różnych częstotliwościach:

$S_1(t)=A\cos [{\omega }_{1}t+\varphi (0)]$ (1a)

$S_0(t)=A\cos [{\omega }_{2}t+\varphi (0)]$ (1b)

gdzie:

$\varphi (0)$ jest fazą początkową sygnału (dla $t=0$).

Dla modulacji MSK, można wyrazić wzór ogólny sygnału zmodulowanego:

$S(t)=A\cos [{\omega }_{0}t+\varphi (t)]$ (2)

gdzie:

$\varphi (t)=\varphi (0)+at$ dla sygnału „1” oraz $\varphi (t)=\varphi (0)-at$ dla sygnału „0”.

We wzorze tym, zmienną $a,$ zwaną indeksem modulacji, definiuje się następująco:

$a=\frac{\pi }{T_b}h,$ co przy założeniu $h=T_b(f_1-f_2)$ sprowadza się do postaci:

$a=\frac{\pi }{T_b}{T}_b(f_1-f_2)=\frac{1}{2}({\omega }_1-{\omega }_2)$

wtedy:

$\varphi (t)=\varphi (0)\pm \frac{1}{2}({\omega }_1-{\omega }_2)t.$ (3)

Jeśli założy się ${\omega }_0=\frac{1}{2}({\omega }_1-{\omega }_2)$ oraz, dla uproszczenia, przyjmie się fazę początkową równą 0, można sprowadzić zależność (2) do wzorów:

$S_1(t)=A\cos [\frac{1}{2}({\omega }_1+{\omega }_2)t+\frac{1}{2}({\omega }_1-{\omega }_2)t]=A\cos ({\omega }_{1}t),$

$S_0(t)=A\cos [\frac{1}{2}({\omega }_1+{\omega }_2)t-\frac{1}{2}({\omega }_1-{\omega }_2)t]=A\cos ({\omega }_{2}t).$

Aby zapewnić ortogonalność sygnałów reprezentujących „0” i „1”, należy tak dobrać częstotliwości $f_1$ i $f_2,$ aby spełniały następujący warunek:

$\mathrm{\Delta }f{T}_b=h=\frac{1}{2}n,n=1,2,3\dots$

Jak widać $n_{min}=1,$ więc najmniejsza różnica częstotliwości, to różnica o pół cyklu w jednym okresie $T_b.$ Właśnie taki przypadek zachodzi w modulacji MSK.

Ostatecznie dla modulacji MSK można zapisać:

$\varphi (t)=\varphi (0)\pm \frac{\pi }{2T_b}t,$

$S(t)=A\cos \varphi (t)\cos ({\omega }_{0}t)-A\sin \varphi (t)\sin ({\omega }_{0}t),$

człon $\cos \varphi (t)$ nazywa się składową synfazową i oznaczany jest poprzez I(t), a człon $\sin \varphi (t)$ – składową kwadraturową Q(t).

Fazę sygnału zmodulowanego można odczytać z tzw. wykresu kratowego fazy:

Przykład wykorzystania wykresu kratowego:

Jak widać z wykresu kratowego, dla parzystych bitów faza początkowa wynosić może 0, $\pi$ lub $-\pi ,$ wtedy:

$\varphi (0)=0\Rightarrow I(t)=\cos \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right),$

$\varphi (0)=\pi \vee \varphi (0)=-\pi \Rightarrow I(t)=-\cos \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right).$

Dla nieparzystych bitów, faza początkowa może wynosić $+\pi /2$ lub $-\pi /2:$

$\varphi (T_b)=+\frac{\pi }{2}\Rightarrow Q(t)=\sin \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right),$

$\varphi (T_b)=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow Q(t)=-\sin \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right).$

Aby określić diagram konstalacji modulacji MSK, zapisać można sygnał zmodulowany w postaci:

$S(t)=\sqrt{E_b}{\mathrm{\Phi }}_1(t)-\sqrt{E_b}{\mathrm{\Phi }}_2(t),$

we wzorze tym:

${\mathrm{\Phi }}_1(t)=\sqrt{\frac{2}{Tb}}\cos \varphi (t)\cos ({\omega }_{0}t),$

${\mathrm{\Phi }}_2(t)=\sqrt{\frac{2}{Tb}}\sin \varphi (t)\sin ({\omega }_{0}t).$

	$\varphi (0)$	znak ${\mathrm{\Phi }}_1$	$\varphi (T_b)$	znak ${\mathrm{\Phi }}_2$	znak $-{\mathrm{\Phi }}_2$	Przesyłane bity
1	0	+	$\pi /2$	+	–	1
2	$\pi$	–	$\pi /2$	+	–	0
3	$\pi$	–	$-\pi /2$	–	+	1
4	0	+	$-\pi /2$	–	+	0

Na podstawie powyższej tabeli, utworzyć można diagram konstelacji dla modulacji MSK:

Modulację MSK cechuje dużo węższe widmo częstotliwościowe niż QPSK/BPSK. MSK jest więc znacznie oszczędniejsza energetycznie. Dzięki temu jest powszechnie stosowana w telekomunikacji (zwłaszcza GMSK). Schemat modulatora MSK:

Sygnał na wejściu filtrów pasmowych:

$y(t)=\cos {\omega }_{0}t\cos \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right)=\frac{1}{2}\cos \left[({\omega }_0-\frac{\pi }{2T_b})t\right]+\frac{1}{2}\cos \left[({\omega }_0+\frac{\pi }{2T_b})t\right]$

${\mathrm{\Phi }}_1(t)=\frac{1}{2}\cos \left[({\omega }_0+\frac{\pi }{2T_b})t\right]+\frac{1}{2}\cos \left[({\omega }_0+\frac{\pi }{2T_b})t\right]=\cos \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right)\cos ({\omega }_{0}t)$

${\mathrm{\Phi }}_1(t)=\frac{1}{2}\cos \left[({\omega }_0-\frac{\pi }{2T_b})t\right]+\frac{1}{2}\cos \left[({\omega }_0+\frac{\pi }{2T_b})t\right]=\sin \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right)\sin ({\omega }_{0}t)$

$S(t)=m_I(t)\cos \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right)\cos ({\omega }_{0}t)-m_Q(t)\sin \left(\frac{\pi }{2T_b}t\right)\sin ({\omega }_{0}t).$

Zobacz też

• GMSK