Lokalna kwantowa teoria pola

Lokalna kwantowa teoria pola, algebraiczna kwantowa teoria pola – sformułowanie kwantowej teorii pola, w którym podstawowymi obiektami są *-algebry stowarzyszone z otwartymi podzbiorami czasoprzestrzeni spełniającymi pewne własności. Pierwotna wersja tej teorii obowiązująca jedynie w płaskiej przestrzeni została przedstawiona przez Haaga i Kastlera w 1964 roku. Obecnie podejście to stosuje się do dowolnej globalnie hiperbolicznej rozmaitości pseudoriemannowskiej.

Definicja

Współcześnie lokalną (kowariantną) kwantową teorię pola deinuje się wykorzystując język teorii kategorii. Kluczową rolę odgrywają kategorie $𝔐 𝔞 𝔫$ oraz $𝔄 𝔩 𝔤 .$ Kategoria $𝔐 𝔞 𝔫$ składa się z klasy obiektów $O b j (𝔐 𝔞 𝔫),$ do której należą wszystkie globalnie hiperboliczne, zorientowane, czasowo zorientowane pseudoriemannowskie czasoprzestrzenie $(M, g) .$ Dla dowolnych dwóch obiektów $(M_{1}, g_{1})$ oraz $(M_{2}, g_{2}),$ klasa morfizmów $h o m_{𝔐 𝔞 𝔫} ((M_{1}, g_{1}), (M_{2}, g_{2}))$ składa się z izometrycznych zanurzeń $ψ : (M_{1}, g_{1}) \to (M_{2}, g_{2}),$ która spełnia ponadto następujące warunki:

dowolna krzywa kauzalna w $(M_{2}, g_{2}),$ której końce są obrazami punktów z $M_{1}$ względem morfizmu $ψ,$ jest obrazem pewnej krzywej kauzalnej w $(M_{1}, g_{1}),$
$ψ$ zachowuje orientację i orientację czasową.

Klasą obiektów $O b j (𝔄 𝔩 𝔤)$ są unitalne *-algebry, natomiast morfizmami w tej kategorii są wierne *-homomorfimzy zachowujące identyczność.

Lokalną (kowariantną) kwantową teorią pola nazywamy funktor kowariantny $𝒜$ pomiędzy kategoriami $𝔐 𝔞 𝔫$ oraz $𝔄 𝔩 𝔤 .$ Warunek kowariantności oznacza, że dla dowolnych morfizmów $ψ_{1} \in h o m_{𝔐 𝔞 𝔫} ((M_{1}, g_{1}), (M_{2}, g_{2}))$ oraz $ψ_{2} \in h o m_{𝔐 𝔞 𝔫} ((M_{2}, g_{2}), (M_{3}, g_{3}))$ zachodzą następujące równości: $α_{ψ_{1}} \otimes α_{ψ_{2}} = α_{ψ_{1} \otimes ψ_{2}},$ $α_{i d_{(M, g)}} = i d_{𝒜 (M, g)},$ gdzie $α_{ψ}$ oznacza $𝒜_{ψ} .$

Lokalna (kowariantna) kwantowa teoria pola określona przez funktor $𝒜$ nazywana jest przyczynową wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych morfizmów $ψ_{j} \in h o m_{𝔐 𝔞 𝔫} ((M_{j}, g_{j}), (M, g)), j = 1, 2,$ takich, że $ψ (M_{1})$ oraz $ψ (M_{2})$ są przyczynowo rozdzielone zachodzi:

[α_{ψ_{1}} (𝒜 ((M_{1}, g_{1}))), α_{ψ_{2}} (𝒜 ((M_{2}, g_{2})))] = 0,

gdzie $[A, B] = {a b - b a : a \in A, b \in B} .$

Lokalna (kowariantna) teoria pola określona przez funktor $𝒜$ spełnia aksjomat ewolucji wtedy i tylko wtedy, gdy $α_{ψ} (𝒜 (M, g)) = 𝒜 (M^{'}, g^{'})$ dla dowolnego $ψ \in h o m_{𝔐 𝔞 𝔫} ((M, g), (M^{'}, g^{'})),$ takiego, że $ψ (M)$ zawiera powierzchnię Cauchy’ego dla $(M^{'}, g^{'}) .$

Zastosowania

Lokalna kwantowa teoria pola jest uniwersalnym językiem, który pozwala na precyzyjny opis efektów kwantowych zachodzących w płaskiej lub zakrzywionej czasoprzestrzeni. Najbardziej znaną klasą modeli, dających się sformułować w tym języku są tzw. swobodne kwantowe teorie pola. Podejście to stosuje się również do oddziałujących kwantowych teorii pola, jednak, jak dotąd, są one zdefiniowane jedynie formalnie. Jest ono szczególnie użyteczne w przypadku kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Bibliografia

Lokalna kwantowa teoria pola

Definicja

Zastosowania

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj