Liczby Eulera

Szablon:Dopracować Liczby Eulera – dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.

Liczby Eulera I rzędu

Opisują, ile jest permutacji $n$-elementowego zbioru posiadających $k$ wzniesień, tzn. $k$ pozycji, dla których ${\pi }_j<{\pi }_{j+1}.$ Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:

$⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩.$

Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:

$⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩=(k+1)⟨\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}⟩+(n-k)⟨\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}⟩$

z warunkami brzegowymi

$⟨\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}⟩=1,⟨\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}⟩=1,⟨\begin{array}{c}n\\ n\end{array}⟩=0.$

Trójkąt liczbowy

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 0\\ \mathrm{𝟐}& 1& 1& 0\\ \mathrm{𝟑}& 1& 4& 1& 0\\ \mathrm{𝟒}& 1& 11& 11& 1& 0\\ \mathrm{𝟓}& 1& 26& 66& 26& 1& 0\\ \mathrm{𝟔}& 1& 57& 302& 302& 57& 1& 0\\ \mathrm{𝟕}& 1& 120& 1191& 2416& 1191& 120& 1& 0\\ \mathrm{𝟖}& 1& 247& 4293& 15619& 15619& 4293& 247& 1& 0\\ \mathrm{𝟗}& 1& 502& 14608& 88234& 156190& 88234& 14608& 502& 1& 0\end{array}$

Własności

• $⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩=\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{m})(k+1-m{)}^n(-1{)}^m$
• $⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩=\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{m})(K+1-m{)}^n(-4{)}^M$

Liczby Eulera II rzędu

Liczby te są oznaczane jako:

$⟨⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩⟩$

i spełniają równanie rekurencyjne postaci:

$⟨⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩⟩=(k+1)⟨⟨\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}⟩⟩+(2n-1-k)⟨⟨\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}⟩⟩$

z warunkami brzegowymi

$⟨⟨\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}⟩⟩=1,⟨⟨\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}⟩⟩=1,⟨⟨\begin{array}{c}n\\ n\end{array}⟩⟩=0.$

Trójkąt liczbowy

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 0\\ \mathrm{𝟐}& 1& 2& 0\\ \mathrm{𝟑}& 1& 8& 6& 0\\ \mathrm{𝟒}& 1& 22& 58& 24& 0\\ \mathrm{𝟓}& 1& 52& 328& 444& 120& 0\\ \mathrm{𝟔}& 1& 114& 1452& 4400& 3708& 720& 0\\ \mathrm{𝟕}& 1& 240& 5610& 32120& 58140& 33984& 5040& 0\\ \mathrm{𝟖}& 1& 494& 19950& 195800& 644020& 785304& 341136& 40320& 0\\ \mathrm{𝟗}& 1& 1004& 67260& 1062500& 5765500& 12440064& 11026296& 3733920& 362880& 0\end{array}$