Krzywa Lorenza

Krzywa Lorenza światowego i europejskiego PKB (2013)

Krzywa Lorenza – krzywa opisująca stopień koncentracji (nierównomierności podziału globalnego zasobu cechy) jednowymiarowego rozkładu zmiennej losowej o wartościach nieujemnych.

Jest ona często wykorzystywana w ekonometrii do liczbowego wyrażania koncentracji kapitału i nierównomierności zarobków. Ma również zastosowania w ekologii.

Definicja

Jeśli obserwacje statystyczne w próbie o liczności $N$ są posortowane ze względu na wartości cechy $Z,$ która przyjmuje wartości nieujemne i choć dla jednej obserwacji jest dodatnia, czyli:

$0⩽z_1⩽z_2⩽\dots ⩽z_N,$

$\sum _{i=1}^N{z}_i>0.$

Wówczas krzywa Lorenza jest łamaną, której wierzchołki $(x_h,y_h),$ dla $h=0,1,\dots ,N,$ mają współrzędne:

$x_0=y_0=0,$

$x_h=\frac{h}{N},$

$y_h=\frac{\sum _{i=1}^h{z}_i}{\sum _{i=1}^N{z}_i},$

gdzie $h=1,2,\dots ,N.$

Krzywa Lorenza zawiera się w kwadracie jednostkowym, przy czym jej końce to dolny lewy i górny prawy wierzchołek kwadratu (oczywiście $x_N=y_N=1$). Ponadto, ponieważ

$0⩽z_1⩽z_2⩽\dots ⩽z_N⟹{\mathrm{\forall }}_{h\ge 1}{\mathrm{\forall }}_{j\ge h}:z_j\ge \frac{1}{h}\sum _{k=1}^h{z}_k$

to zachodzi

$\sum _{i=1}^N{z}_i=\sum _{i=1}^h{z}_i+\sum _{i=h+1}^N{z}_i\ge \sum _{i=1}^h{z}_i+\frac{N-h}{h}\sum _{i=1}^h{z}_i=\frac{N}{h}\sum _{i=1}^h{z}_i$

skąd wynika, że

$y_h=\frac{\sum _{i=1}^h{z}_i}{\sum _{i=1}^N{z}_i}\le \frac{h}{N}=x_h$

Powyższe nierówności stają się równościami wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie obserwacje są sobie równe i różne od zera. Wówczas krzywa Lorenza pokrywa się z przekątną kwadratu jednostkowego. W przypadku wystąpienia jakichkolwiek różnic między wartościami obserwacji krzywa Lorenza odchyla się i przebiega poniżej tej przekątnej, dlatego przebieg i kształt krzywej Lorenza względem przekątnej kwadratu jednostkowego odwzorowuje nierówności w obserwacjach danej cechy.

Najbardziej znaną miarą tej własności krzywej Lorenza jest pole pomiędzy tą krzywą a przekątną kwadratu, nazywane wskaźnikiem Giniego.

Czasem też rysuje się nieznormalizowaną krzywą Lorenza, dla której:

$x_h=h,$

$y_h=\sum _{i=1}^h{z}_i.$

Wówczas nieco utrudnione jest obliczanie wskaźnika Giniego, ale oś OY można opisać w jednostkach danego dobra (np. w PLN).

Przykład interpretacji

Jeśli jakiś punkt krzywej Lorenza ma współrzędne $(0,6;0,3),$ to oznacza, że suma 60% obserwacji o najmniejszych wartościach stanowi 30% całej sumy, np. 60% najbiedniejszych ludzi posiada 30% całego majątku społeczeństwa.

Im bliżej przekątnej jest krzywa Lorenza, tym rozkład jest bardziej równomierny.

Zastosowanie w ekonometrii

Krzywa Lorenza jest często wykorzystywana w ekonometrii do opisywania stopnia nierówności dystrybucji dochodów w społeczeństwie.

Krzywa nachylona pod kątem 45 stopni przedstawia równomierny rozkład dochodów w społeczeństwie. Równomierny rozkład dochodów oznacza na przykład, że 80% dochodów otrzymuje 80% społeczeństwa (punkt E). Przykładem nierówności może być fakt, że 80% ludności dysponuje zaledwie 50% dochodów (punkt E′).

Zastosowanie w geografii ludności

Krzywa Lorenza jest stosowana w geografii ludności do obrazowania nierównomierności gęstości zaludnienia w podjednostkach terenowych.

Zobacz też

• indeks Giniego