Kryterium Condorceta

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Condorceta – w teorii wyboru społecznego, cecha metod wyborczych, opisująca czy prowadzą do wybrania zwycięzców Condorceta, czyli tych opcji, które wygrywają w głosowaniach między wszystkimi parami alternatyw. Kryterium to odzwierciedla ustalenia francuskiego matematyka i filozofa z XVIII wieku, Nicolasa Condorceta.

Nie w każdej sytuacji da się określić tak zdefiniowanych zwycięzców. Ten problem może wystąpić wskutek cykliczności preferencji, co jest podstawą paradoksu Condorceta. Kryterium nie gwarantuje więc rozstrzygnięcia wyborów, i nie definiuje samodzielnie kompletnej metody głosowania. Zaproponowano szereg metod condorcetowskich, które są uzupełnione o różne sposoby rozwiązania paradoksu i mają na celu jednoznaczne wyłanianie zwycięzców spośród opcji spełniających kryterium Condorceta.

Historia

Wczesny opis metody ustalenia zwycięzcy głosowania przez porównanie poparcia parami, zgodnej z koncepcjami Condorceta, przedstawił już w 1299 średniowieczny filozof Rajmund Llull w traktacie De Arte Eleccionis. Ten sam autor opisał też system głosowania identyczny z metodą Bordy w powieści Blanquerna z ok. 1283. Nie towarzyszyło temu jednak matematyczne ani logiczne uzasadnienie dla stosowania tych procedur[1][2].

Analityczny opis zagadnienia sformułował w 1785 Condorcet, francuski myśliciel i orędownik demokracji, w pracy Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Przekonywał w niej o wartości demokratycznych metod, wyprowadzając twierdzenie Condorceta o ławie przysięgłych. Argumentował o sensowności uznania za zwycięską takiej opcji w wyborach, która wygrałaby z każdą z alternatyw w osobnych głosowaniach parami. Dostrzegał przy tym, że wyznaczenie takiej opcji nie jest możliwe, gdy preferencje są cykliczne (analogicznie do potrójnego cyklu w grze w papier, kamień, nożyce, jak to opisał np. Saari). W dalszej części tekstu przedstawił niekompletny zarys rozwiązania tego problemu; według opracowania Hamana, podobne do tego szkicu są np. rozwinięte później metoda maksyminu i metoda Copelanda[3][4][5][6].

W ciągu następnych stuleci badacze przedstawili wiele propozycji metod condorcetowskich; wszystkie spełniają kryterium Condorceta, jednak niektóre odbiegają od dodatkowych, pobocznych koncepcji tego myśliciela[5].

Opis formalny

Zgodnie z notacją Fishburna, formalna definicja klasycznego kryterium Condorceta określa, że przy relacji większościowego zwycięstwa w zestawieniu parami Wp, funkcja wyboru społecznego C jest condorcetowska wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zbiorów alternatyw A i preferencji p[7]:

C(A,p)={x}, gdzie ∀y∈A∖{x}:x∈A∧xWpy,

to znaczy gdy wybiera dokładnie taki zbiór, w którym znajduje się jedynie opcja wygrywająca w głosowaniu większościowym z każdą inną alternatywą.

Fishburn opisał także dodatkowe warianty kryterium, które zaproponowano w 20 wieku:

Kryterium Smitha: jeśli A można podzielić na niepuste podzbiory A1 i A2, gdzie a1Wpa2 dla wszystkich a1∈A1 i a2∈A2, to A2∩C(A,p)=∅. Spełniająca to kryterium funkcja musi wybierać tylko najmniejszy zbiór alternatyw, które wygrywają ze wszystkimi opcjami spoza tego zbioru[8].

Inkluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: poza warunkami klasycznej formy kryterium, {x∈A:∄yWpx}⊆C(A,p), gdy drugi zbiór nie jest pusty[8].

W notacji Hamana, jeśli w zbiorze alternatyw B istnieje podzbiór słabych zwycięzców Condorceta (SZC), czyli alternatywy nieprzegrywające w głosowaniu większościowym parami z żadnymi opcjami należącymi do B, to co najmniej jedna z nich powinna należeć do zbioru alternatyw wybranych przez funkcję wyboru społecznego w, przy zbiorze preferencji ℜ i relacji przewagi preferencji M[5]:

SZC={x∈B:∀y∈B∼(yMx)}SZC≠∅→w(ℜ,B)∩SZC≠∅

Jest to osłabiona forma tego kryterium, ponieważ inaczej niż wersja Fishburna, nie wymaga aby wszystkie elementy SZC zostały wybrane.

Ekskluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: C(A,p)⊆x∈A:yWpx,∄y∈A, gdy drugi zbiór nie jest pusty[8].

W notacji Hamana, jeśli zbiór SZC nie jest pusty, to żadna opcja spoza niego nie powinna zostać wybrana[5]:

SZC={x∈B:∀y∈B∼(ymx)}SZC≠∅→w(ℜ,B)⊆SZC

Ścisłe kryterium Condorceta: C(A,p)=x∈A:yWpx,∄y∈A, gdy drugi zbiór nie jest pusty[8].

Zwycięzcy Condorceta wygrywają ze wszystkimi alternatywami; „słabi” zwycięzcy Condorceta nie przegrywają z żadną. O ile preferencje są przechodnie lub antycykliczne, to w zbiorze alternatyw muszą znajdować się są co najmniej słabi wyborcy Condorceta[5].

Klasyczne kryterium Condorceta mieści się w kryterium inkluzywnym, które jest z kolei implikowane przez kryterium ekskluzywne, a ono przez ścisłą postać. Zbiór generowany przez kryterium Smitha mieści zbiór słabych zwycięzców Condorceta; są tożsame i zachodzi między nimi jednostronna implikacja, gdy preferencje są przechodnie[5].

Według Fishburna, spośród różnych postaci kryterium najbardziej przekonujące normatywnie jest kryterium Smitha[8]. Haman ocenia tak wersję klasyczną. Zaznacza jednak przy tym, że opcja uznana według niej za zwycięską, „nie musi być alternatywą »słuszną«, »korzystną« lub »sprawiedliwą«, [a kandydat] »najkompetentniejszy« i »najlepszy«”. Metody condorcetowskie gwarantują jednak co najmniej stabilność, ugruntowaną w autentycznym większościowym poparciu[5].

Dane z głosowania mogą być przedstawione w macierzy WP (wielkości przewagi w głosowania większościowym na parach alternatyw), lub macierzy WG (wyników głosowania większościowego). Dla mocnego zwycięzcy wszystkie wyrazy odpowiedniego wiersza poza główną przekątną mają wartości dodatnie; dla słabego zwycięzcy są nieujemne[5].

Spełnianie kryterium Condorceta

Metody spełniające kryterium Condorceta

Metody niespełniające kryterium Condorceta

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

  1. ↑ Szablon:Cytuj
  2. ↑ Szablon:Cytuj
  3. ↑ Szablon:Cytuj
  4. ↑ Szablon:Cytuj
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 Szablon:Cytuj
  6. ↑ Szablon:Cytuj
  7. ↑ Szablon:Cytuj
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 Szablon:Cytuj
Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Kryterium_Condorceta&oldid=5260”