Krakowian

Krakowian – tablica zastępująca macierz w obliczeniach ręcznych zaproponowana przez Tadeusza Banachiewicza. Ma inaczej zdefiniowane mnożenie, w krakowianach mnoży się przez siebie kolumny, dzięki temu do wykrywania błędów obliczeń można stosować sumy kontrolne. Zastosowanie krakowianów upraszcza wiele wzorów i obliczeń numerycznych.

Wygodny przy obliczeniach ręcznych i korzystaniu z pamięci sekwencyjnej komputerów. Właściwość tę wykorzystywał wczesny komputer PARK z 1957 r.

Iloczyn krakowianów

Główna różnica w stosunku do macierzy polega na tym, że wyznaczając ich iloczyn, mnoży się kolumny przez kolumny (w macierzach mnoży się wiersze przez kolumny). Iloczynem następujących krakowianówSzablon:Refn:

$\left\{\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{p,1}\\ a_{1,2}& \cdots & a_{p,2}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1,m}& \cdots & a_{p,m}\end{array}\right\}$   i   $\left\{\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& \cdots & b_{n,1}\\ b_{1,2}& \cdots & b_{n,2}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{1,m}& \cdots & b_{n,m}\end{array}\right\}$

mających tę samą liczbę wierszy jest krakowian

$\left\{\begin{array}{ccc}{c}_{1,1}& \cdots & c_{p,1}\\ c_{1,2}& \cdots & c_{p,2}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{1,n}& \cdots & c_{p,n}\end{array}\right\}$

gdzie:

$c_{l,k}=a_{l,1}{b}_{k,1}+a_{l,2}{b}_{k,2}+\cdots +a_{l,m}{b}_{k,m}.$

Przykładowo:

$\left\{\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right\}\cdot \left\{\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{cc}ae+cg& be+dg\\ af+ch& bf+dh\end{array}\right\}$

Mnożenie krakowianów:

• nie jest przemienne, czyli $AB\ne BA,$
• nie jest łączne, czyli $A(BC)\ne (AB)C.$