Kategoria homotopijna

Szablon:Dopracować Kategoria homotopijna – kategoria, w której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami klasy homotopii odwzorowań między nimi. Kategoria ta często jest oznaczana HTop.

W HTop złożeniem dwóch morfizmów $[f]$ i $[g]$ (gdzie $[]$ oznaczają wzięcie klasy homotopii) jest:

$[f]\circ [g]=[f\circ g].$

Definicja ta jest poprawna, gdyż jeśli odwzorowania $f_1\sim f_2$ i $g_1\sim g_2$ (są homotopijne), to odwzorowania $f_1\circ g_1\sim f_2\circ g_2.$

Zbiór wszystkich morfizmów z przestrzeni X do Y oznaczamy [X,Y], w odróżnieniu od ogólnego oznaczenia Hom(X,Y).

Głównym zadaniem teorii homotopii jest badanie zbioru [X,Y].

Kategoria homotopijna z wyróżnionym punktem

W topologii algebraicznej często zachodzi konieczność istnienia wyróżnionych punktów, które należy kontrolować. Wtedy mamy do czynienia z kategorią $HTo{p}_{*},$ w której obiektami są pary $(X,x_0),$ gdzie X jest przestrzenią topologiczną i $x_0\in X.$ Morfizmami między $(X,x_0)$ a $(y,y_0)$ są klasy homotopii (relatywnie $x_0$) odwzorowań $f:(X,x_0)\to (Y,y_0),$ tzn. $f:X\to Y$ oraz $f(x_0)=y_0.$

Tak zdefiniowana kategoria $HTo{p}_{*}$ pozwala na dobrze odkreślić funktor homotopii, który parze $(X,x_0)$ przypisuje $\pi (X,x_0)$ – grupy homotopii względem $x_0.$