Interpolacja naturalna

Szablon:Dopracować Interpolacja naturalna – jeden z rodzajów interpolacji.

Definicja

Dana jest funkcja $y=f(x),x\in [x_0,x_n]$ dla której znamy tablice jej wartości

$f(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1\dots f(x_n)=y_n.$

Będziemy poszukiwać funkcji $W(x)$ takiej że $W(x_0)=y_0,W(x_1)=y_1\dots W(x_n)=y_n.$

Poszukiwaną funkcją interpolacyjną będzie wielomian w postaci

$W(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$

Zdefiniujmy macierz współczynników $𝐀:$

$𝐀=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$

oraz macierz bazową $𝐁:$

$𝐁=\left[\begin{array}{ccccc}{x}^0& x^1& x^2& \cdots & x^n\end{array}\right].$

Wówczas wielomian interpolacyjny wyraża wzór

$W(x)=𝐁𝐀.$

Zdefiniujmy macierz główną $𝐗:$

$𝐗=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_0^0& x_0^1& x_0^2& \cdots & x_0^n\\ x_1^0& x_1^1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ x_2^0& x_2^1& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n^0& x_n^1& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right].$

Macierz $𝐗$ to macierz Vandermonde’a.

Zdefiniujmy macierz $𝐘:$

$𝐘=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right].$

Jeśli macierz $𝐗$ jest nieosobliwa, to zachodzi

$𝐀={𝐗}^{-1}𝐘,$

co implikuje

$W(x)=𝐁{𝐗}^{-1}𝐘.$

Wady i zalety

Niepodważalną zaletą tej metody jest jej prostota. Przekłada się to na łatwość jej implementacji w programach komputerowych oraz zastosowania w metodach numerycznych.

Sporą wadą interpolacji naturalnej jest konieczność odwracania macierzy głównej co jest – szczególnie przy dużym rozmiarze macierzy – operacją skomplikowaną oraz niedokładną (błędy zaokrągleń).

W związku z tym częściej w praktyce stosowana jest interpolacja Lagrange’a.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę