Implikacja rozmyta

Implikacja rozmyta jest funkcją $I:[0,1]\times [0,1]\to [0,1].$ Dla każdego $x,y,z\in [0,1]$ implikacja spełnia następujące warunki:

• (1) Jeżeli $x⩽z,$ to $I(x,y)⩾I(z,y).$
• (2) Jeżeli $y⩽z,$ to $I(x,y)⩽I(x,z).$
• (3) $I(0,y)=1$
• (4) $I(x,1)=1$
• (5) $I(1,0)=0$

Przykłady implikacji rozmytych

Nazwa	Postać
Fodora	$I(x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩽y\\ \max (1-x,y),& x>y\end{array}$
Gödela	$I(x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩽y\\ y,& x>y\end{array}$
Goguena	$I(x,y)=\min (y/x,1)$
Kleene’a-Dienesa	$I(x,y)=\max (1-x,y)$
Łukasiewicza	$I(x,y)=\min (1-x+y,1)$
Reichenbacha	$I(x,y)=1-x+xy$
Reschera	$I(x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩽y\\ 0,& x>y\end{array}$
Webera	$I(x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& x<0\\ y,& x=0\end{array}$
Yagera	$I(x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& x=0\wedge y=0\\ y^x,& x>0\vee y>0\end{array}$

W zastosowaniach często można spotkać implikację Zadeha $I(x,y)=\max (1-x,\min (x,y)).$ Wbrew nazwie funkcja ta nie spełnia własności (1), nie jest zatem implikacją.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę