Funkcje Kelvina

Funkcje Kelvina – funkcje powiązane z funkcjami Bessela zespolonego argumentu. Oznaczane są symbolami:

${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z$

${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

${\ker }_{\nu }z$

${\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

${\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z$

${\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

gdzie $z$ jest zmienną zespoloną, a rzeczywisty parametr $\nu$ rzędem funkcji.

Definicje

Ber(x) for x between 0 and 10.

$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)/e^{x/\sqrt{2}}$ for $x$ between 0 and 100.

Bei(x) for $x$ between 0 and 10.

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)/e^{x/\sqrt{2}}$ for $x$ between 0 and 100.

Ker(x) for $x$ between 0 and 10.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(x)e^{x/\sqrt{2}}$ for x between 0 and 100.

Kei(x) for $x$ between 0 and 10.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}(x)e^{x/\sqrt{2}}$ for $x$ between 0 and 100.

ber(x), bei(x)

Funkcje ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z$ oraz ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$ są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Bessela rzędu rzeczywistego $J_{\nu }(\dots )$ o argumencie zespolonym pomnożonym przez stała matematyczną e podniesioną do potęgi $3\pi i/4$ gdzie $i$ jest jednostką urojoną:

$J_m(e^{\pm 3\pi i/4}z)={\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z\pm i{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

Alternatywną definicją jest:

$e^{\nu \pi i/2}{I}_{\nu }(e^{\pi i/4}z)={\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z+i{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

gdzie $I_{\nu }(\dots )$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu rzeczywistego.

ker(x), kei(x)

Funkcje ${\ker }_{\nu }z$ oraz ${\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$ są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną podzielonej przez $e^{\nu \pi i/2}$ zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju rzędu rzeczywistego $K_{\nu }(\dots )$ o argumencie zespolonym pomnożonym przez $e^{\pi i/4}:$

$e^{-\nu \pi i/2}{K}_{\nu }(e^{\pi i/4}z)={\ker }_{\nu }z+i{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

her(x), hei(x)

Funkcje ${\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z$ oraz ${\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$ są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Hankela I rodzaju rzędu rzeczywistego $H_{\nu }^{(1)}(\dots )$ o argumencie zespolonym pomnożonym przez $e^{3\pi i/4}:$

$H_{\nu }^{(1)}(e^{\pm 3\pi i/4}z)={\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z\pm i{\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

Funkcje rzędu zerowego

W zapisie rząd zerowy funkcji Kelvina opuszcza się, tj. mamy:

$J_0(i^{\pm 3/2}z)=\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}z\pm i\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$J_0(i\sqrt{i}z)=\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}z\pm i\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$J_0(e^{\pm 3\pi i/4}z)=\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}z+i\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$J_0(e^{-\pi i/4}z)=\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}z+i\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$K_0(i^{\pm 1/2}z)=\ker z\pm i\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$K_0(\sqrt{i}z)=\ker z+i\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$K_0(\sqrt{-i}z)=\ker z-i\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

$H_0^{(1)}(i^{+3/2}z)=\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}z+i\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}z$

Własności

Funkcje Kelvina są rzeczywiste dla rzeczywistych wartości argumentu $z.$ W punkcie $z=0$ przestrzeni zespolonej funkcje Kelvina posiadają punkt rozgałęzienia z wyjątkiem funkcji ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{n}z$ oraz ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{n}z$ rzędu rzeczywistego całkowitego.

Między funkcjami Kelvina zachodzą związki:

${\ker }_{\nu }z=-\frac{\pi }{2}{\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z$

${\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z=\frac{1}{2}{\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z$

Funkcje $\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}z,\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}z,\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}z,\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}z,$ spełniają równanie różniczkowe:

$\frac{d^{2}f(z)}{d{z}^2}+\frac{1}{z}\frac{df(z)}{dz}-if(z)=0$

Natomiast funkcje ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z,{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z,{\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{\nu }z,{\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{\nu }z,$ spełniają równanie różniczkowe:

$\frac{d^{2}f(z)}{d{z}^2}+\frac{1}{z}\frac{df(z)}{dz}-(i+\frac{{\nu }^2}{z^2})f(z)=0$

Rozwinięcia

Dla funkcji ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{n}z$ o rzędzie całkowitym $n$ różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{n}z={\left(\frac{z}{2}\right)}^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]}{k!\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{\left(\frac{z^2}{4}\right)}^k$

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji $\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}z$ rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}(z)=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(z/2{)}^{4k}}{[(2k)!{]}^2}$

tj.:

$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}(z)=1-\frac{1}{(2!{)}^2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^4+\frac{1}{(4!{)}^2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^8-\dots$

Dla funkcji ${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{n}z$ o rzędzie całkowitym $n$ różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_{n}z={\left(\frac{z}{2}\right)}^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]}{k!\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{\left(\frac{z^2}{4}\right)}^k$

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji $\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}z$ rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(z/2{)}^{4k+2}}{[(2k+1)!{]}^2}$

tj.

$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^2-\frac{1}{(3!{)}^2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^6+\frac{1}{(5!{)}^2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{10}-\dots$

Bibliografia

• Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
• Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).
• Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.