Funkcja wypłat

Funkcja wypłat – pojęcie z zakresu teorii gier stosowane do opisu m.in. gier o postaci normalnej. Dla danych strategii czystych określa jaką wypłatę przyniesie ich zastosowanie.

Definicja

Niech $⟨N,A,(u_i{)}_{i\in N}⟩$ będzie grą.

Funkcją wypłat nazywamy funkcję $u:A\to {ℝ}^N$ która danemu profilowi strategii czystych przyporządkowuje pewną N-tkę liczb rzeczywistych, gdzie kolejne współrzędne są wypłatami kolejnych graczy. Równoważnie: $u(a)=(u_1(a),\dots ,u_N(a)),a\in A.$

Macierz wypłat

Macierz wypłat to wygodny sposób zapisu wypłat stosowany w grach o postaci normalnej.

Definicja

Macierz wypłat to szczególny przypadek funkcji wypłat. Stosuje się go zwykle dla gier o liczbie graczy nie większej niż 3 (ze względu na komplikację przy większej ilości graczy). Poniżej podano wyraz ogólny macierzy dla gry dwuosobowej, przy danej funkcji wypłat. Jest to para uporządkowana w której pierwsza (odpowiednio: druga) współrzędna oznacza wypłatę gracza pierwszego (drugiego).

$a_{ij}=(u_1(1_i,1_j),u_2(1_i,1_j)),$ gdzie $u_i$ wartość funkcji wypłat, a $1_i$ i-tą strategię czystą.

Oznaczmy tę macierz przez $W,$ a przez $W^k$ oznaczmy macierz o następujących wyrazach: $w_{i,j}^k=u_k(1_i,1_j)$ gdzie k = 1,2. Zatem $W^k$ oznacza macierz wypłat gracza k-tego.