Funkcja lokalnie ograniczona

Funkcję nazywa się lokalnie ograniczoną, jeżeli jest ograniczona w otoczeniu każdego punktu dziedziny.

Rodzina funkcji jest lokalnie ograniczona, jeżeli w każdym punkcie dziedziny wszystkie funkcje rodziny są lokalnie ograniczone.

Przykłady

• Funkcja $f:𝐑\to 𝐑$ dana wzorem

$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$

jest ograniczona, bo $0⩽f(x)⩽1$ dla wszystkich $x.$ Dlatego jest też lokalnie ograniczona.

• Funkcja $f:𝐑\to 𝐑$ dana wzorem

$f(x)=2x+3$

nie jest ograniczona, gdyż rośnie nieograniczenie np. dla $x\to +\mathrm{\infty },$ Jednak jest lokalnie ograniczona, bo dla wszystkich $a,|f(x)|⩽M$ w przedziale $(a-1,a+1),$ gdzie $M=2|a|+5.$

• Funkcja $f:𝐑\to 𝐑$ dana wzorem

$f(x)=\frac{1}{x}$

dla $x=0$ nie jest lokalnie ograniczona, bo przyjmuje wartości dowolnie duże w pobliżu zera.

Zobacz też

• funkcja ograniczona

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę