Funkcja grzebieniowa

Wykres funkcji grzebieniowej jako szeregu impulsów Diraca

Funkcja grzebieniowa – dystrybucja, której głównym zastosowaniem jest teoretyczny opis próbkowania natychmiastowego; potoczna nazwa szeregu impulsów Diraca położonych w równych odstępach czasu $T,$

${\mathrm{comb}}_T=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\delta }_{nT},$

gdzie:

${\delta }_{nT}$ – impuls Diraca $\delta$ „przesunięty” do punktu $nT$ (tzn. ${\delta }_{nT}(\phi )=\phi (nT)$ dla dowolnej funkcji próbnej $\phi$)

bywa również oznaczany za pomocą dużej litery cyrylicy Ш (czyt. „sza”), ze względu na jej graficzne podobieństwo do trzech kolejnych impulsów Diraca. Formalnie szereg ten nie jest zbieżny, dlatego nie może być uważany za funkcję. Zwykle oznacza się go: $\mathrm{comb}={\mathrm{comb}}_1=\sum _n{\delta }_n.$

Funkcja grzebieniowa jest funkcją własną (a nawet idempotentem) transformacji Fouriera:

$ℱ(\mathrm{comb})=\mathrm{comb},$

co jest całkowicie równoważne ze wzorem sumacyjnym Poissona; podobnie

$ℱ({\mathrm{comb}}_T)=\frac{1}{T}{\mathrm{comb}}_{\frac{1}{T}},$