Funkcja częściowa

Przykład funkcji częściowej.

Jedno z przedłużeń funkcji częściowej z poprzedniej ilustracji.

Funkcja częściowa z $X$ do $Y$ – funkcja $f:X^{\prime }\to Y,$ gdzie $X^{\prime }$ jest podzbiorem $X$Szablon:Odn.

Funkcję częściową z $X$ do $Y$ oznacza się $f:X\nrightarrow Y.$

Jest to uogólnienie pojęcia funkcji polegające na tym, że nie wymaga się, aby $f$ odwzorowywało każdy element zbioru $X$ na element zbioru $Y$ (lecz elementy pewnego podzbioru $X^{\prime }$ zbioru $X$). Jeśli $X^{\prime }=X,$ to $f$ nazywa się po prostu funkcją. Funkcje częściowe są często używane wtedy, gdy dokładna dziedzina funkcji, $X^{\prime },$ nie jest znana.

Dla funkcji częściowej $f$ dla każdego elementu $x\in X,$ albo:

• $f(x)=y\in Y$ ($y$ jest jedynym takim elementem $Y$) albo
• $f(x)$ jest niezdefiniowana.

Jeśli dla funkcji częściowej $f$ istnieje taka funkcja $g:X\to Y,$ że dla każdego elementu $x$ zbioru $X^{\prime }$ zachodzi równość $f(x)=g(x),$ to funkcję $g$ nazywamy przedłużeniem funkcji $f.$ Mówimy wtedy, że funkcja $f$ jest funkcją częściową funkcji $g$Szablon:Odn. Funkcję częściową $f$ funkcji $g$ oznaczamy wtedy symbolem $g|X^{\prime }.$

Dziedzina funkcji częściowej

Są obecnie dwa poglądy na dziedzinę funkcji częściowej. Większość matematyków, włączając w to specjalistów od teorii rekursji, używa zwrotu dziedzina $f$ dla zbioru wszystkich wartości $x,$ dla których $f(x)$ jest zdefiniowana ($X^{\prime }$ w definicji powyżej). Lecz część matematyków, w szczególności ci specjalizujący się w teorii kategorii, uważa za dziedzinę funkcji częściowej $f:X^{\prime }\to Y$ zbiór $X,$ i nazywa zbiór $X^{\prime }$ dziedziną definicji.

Własności

• Jeśli $f$ jest funkcją częściową funkcji $g,$ to $f\subset g$ (jako podzbiory $X\times Y$).
• Każdą funkcję częściową $f$ można przedłużyć do pewnej funkcji $g,$ na ogół na wiele sposobów. Ustalmy na przykład element $y_0$ zbioru $Y$ i przyjmijmy:

$g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& \text{gdy }x\in X^{\prime }\\ y_0,& \text{gdy }x\in X\setminus X^{\prime }\end{array}$

• Funkcja częściowa jest nazywana injekcją lub surjekcją, gdy istnieje jej przedłużenie do funkcji, która jest odpowiednio injekcją lub surjekcją. Funkcje częściowe mogą być jednocześnie injektywne i surjektywne, ale pojęcie bijekcji stosuje się tylko do funkcji.
• Injektywna funkcja ma odwrotność, która jest funkcją częściową injektywną.
• Odwrotność funkcji częściowej, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją jest funkcją injektywną..

Przykłady

• Rozpatrzmy pierwiastek kwadratowy ograniczony do liczb całkowitych: $g:\mathbb{Z}\nrightarrow \mathbb{Z},g(n):=\sqrt{n}.$

Wtedy $g(n)$ jest zdefiniowana dla tych liczb $n,$ które są dokładnymi pierwiastkami (tzn. 0, 1, 4, 9, 16, ...). Dlatego $g(25)=5,$ lecz $g(26)$ jest niezdefiniowana.

• Logarytm zmiennej zespolonej $\ln :ℂ\nrightarrow ℂ$ jest funkcją częściową o dziedzinie $\{z=r{e}^{i\phi }:r>0,-\pi <\phi <\pi \},$ czyli płaszczyźnie zespolonej pozbawionej liczb rzeczywistych niedodatnichSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę