Funkcja Wanniera

Funkcja Wanniera

Funkcje Wanniera – zbiór zupełny funkcji ortogonalnych używany jako baza w fizyce ciała stałego. Pierwszy raz zostały zaproponowane przez G. Wanniera.

Funkcje Wanniera dla różnych węzłów sieci w krysztale są do siebie wzajemnie ortogonalne, przez co stanowią wygodną bazę do rozwinięć perturbacyjnych, w szczególności stanowią podstawę modelu ciasnego wiązania.

Definicja

Funkcje Wanniera można zdefiniować na wiele różnych sposobów, przy czym oryginalna definicja, najczęściej używana w fizyce ciała stałego oparta jest na funkcjach Blocha.

Wybierzmy pojedyncze pasmo w idealnym krysztale i oznaczmy funkcję falową dla stanu Blocha

${\psi }_{𝐤}(𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫}{u}_{𝐤}(𝐫),$

gdzie $u_{𝐤}(𝐫)$ jest funkcją Blocha o periodyczności takiej samej jak sieć krystaliczna. Wtedy funkcje Wanniera definiujemy jako

${\varphi }_{𝐑}(𝐫)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{𝐤}{e}^{-i𝐤\cdot 𝐑}{\psi }_{𝐤}(𝐫),$

gdzie:

$𝐑$ – dowolny wektor sieci prostej (tzn. istnieje dokładnie jedna funkcja Wanniera dla każdego wektora Bavaisa),

$N$ – liczba komórek prymitywnych w krysztale,

suma po $𝐤$ przebiega po wszystkich wartościach $𝐤$ w strefie Brillouina.

Ze względu na to, że wartości $𝐤$ są rozłożone równomiernie w strefie Brillouina oraz $N$ jest zwykle bardzo dużą liczba suma może zostać przybliżona przez całkę zgodnie z poniższą reguła

$\sum _{𝐤}⟶\frac{N}{\mathrm{\Omega }}\underset{BZ}{\int }{d}^3𝐤,$

gdzie $BZ$ oznacza strefę Brillouina o objętości $\mathrm{\Omega }.$