Forma rachunkowa (Hausbrandta)

Forma rachunkowa (Hausbrandta), zwana również symbolem rachunkowym znacznie ułatwia i systematyzuje obliczenia wykonywane za pomocą kalkulatora. Wiele zadań wykazuje pewne powtarzające się działania, możliwe do ujednolicenia i usprawnienia w wyniku zastosowania form rachunkowych wprowadzonych w tym celu przez Stefana Hausbrandta. Podstawowym pojęciem w symbolice Hausbrandta jest forma pojedyncza, stanowiąca czteroelementowy zespół liczb, ujętych w prostokątna tabelę. Forma ta jest tylko sposobem zapisu liczb i nie określa żadnych działań matematycznych prowadzących do wyznaczenia konkretnej liczby. Są one możliwe po ustaleniu określonej funkcji formy rachunkowej.

Przez funkcję formy rachunkowej rozumie się zastosowanie działań matematycznych przypisanych do danej formy.

W latach 1950–1960 formy rachunkowe Hausbrandta usprawniały obliczenia geodezyjne w Polsce przy opracowywaniu i zakładaniu sieci triangulacyjnych.

Formy podstawowe

Forma pojedyncza (forma rachunkowa prosta)

$f = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$

Forma pierwsza

$f_{1} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{1} = a \cdot d - b \cdot c$

Forma druga

$f_{2} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{2} = a \cdot c + b \cdot d$

Formy uzupełniające

Forma zerowa

$f_{0} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{0} = \frac{f_{1}}{f_{2}} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{a \cdot c + b \cdot d}$

Forma pierwsza dolna zwykła (okrągła)

$f_{(1)} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{(1)} = \frac{f_{1}}{c + d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{c + d}$

Forma druga dolna zwykła (okrągła)

$f_{(2)} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{(2)} = \frac{f_{2}}{c + d} = \frac{a \cdot c + b \cdot d}{c + d}$

Forma pierwsza górna zwykła (okrągła)

$f^{(1)} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}^{(1)} = \frac{f_{1}}{a + b} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{a + b}$

Forma druga górna zwykła (okrągła)

$f^{(2)} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}^{(2)} = \frac{f_{2}}{a + b} = \frac{a \cdot c + b \cdot d}{a + b}$

Forma pierwsza dolna kwadratowa

$f_{[1]} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{[1]} = \frac{f_{1}}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{c^{2} + d^{2}}$

Forma druga dolna kwadratowa

$f_{[2]} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}_{[2]} = \frac{f_{2}}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a \cdot c + b \cdot d}{c^{2} + d^{2}}$

Forma pierwsza górna kwadratowa

$f^{[1]} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}^{[1]} = \frac{f_{1}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{a^{2} + b^{2}}$

Forma druga górna kwadratowa

$f^{[2]} = {| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |}^{[2]} = \frac{f_{2}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a \cdot c + b \cdot d}{a^{2} + b^{2}}$

Formy rachunkowe wielokrotne

Forma rachunkowa wielokrotna (forma rachunkowa złożona) składa się z dwóch lub większej ilości form rachunkowych prostych zapisanych obok siebie.
$F = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix} | | \begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix} | \dots | \begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix} |$
Uwaga: Podwójną kreskę macierzy można zastąpić pojedynczą.

$F_{1} = a_{1} \cdot d_{1} - b_{1} \cdot c_{1} + a_{2} \cdot d_{2} - b_{2} \cdot c_{2} + \dots + a_{n} \cdot d_{n} - b_{n} \cdot c_{n}$

$F_{2} = a_{1} \cdot c_{1} + b_{1} \cdot d_{1} + a_{2} \cdot c_{2} + b_{2} \cdot d_{2} + \dots + a_{n} \cdot c_{n} + b_{n} \cdot d_{n}$

$F_{0} = \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{a_{1} \cdot d_{1} - b_{1} \cdot c_{1} + a_{2} \cdot d_{2} - b_{2} \cdot c_{2} + \dots + a_{n} \cdot d_{n} - b_{n} \cdot c_{n}}{a_{1} \cdot c_{1} + b_{1} \cdot d_{1} + a_{2} \cdot c_{2} + b_{2} \cdot d_{2} + \dots + a_{n} \cdot c_{n} + b_{n} \cdot d_{n}}$

$F_{(1)} = \frac{F_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} (c_{i} + d_{i})}$

$F_{(2)} = \frac{F_{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (c_{i} + d_{i})}$

$F^{(1)} = \frac{F_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i})}$

$F^{(2)} = \frac{F_{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i})}$

$F_{[1]} = \frac{F_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} (c_{i}^{2} + d_{i}^{2})}$

$F_{[2]} = \frac{F_{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (c_{i}^{2} + d_{i}^{2})}$

$F^{[1]} = \frac{F_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} (a_{i}^{2} + b_{i}^{2})}$

$F^{[2]} = \frac{F_{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (a_{i}^{2} + b_{i}^{2})}$

Przykłady

Obliczenie kąta $γ$ trójkąta ABC ze współrzędnych:

$tg γ = {| \begin{matrix} Δ X_{C B} & Δ Y_{C B} \\ Δ X_{C A} & Δ Y_{C A} \end{matrix} |}_{0}$

Obliczenie współrzędnych wierzchołka C.

$(X_{C}, Y_{C}) = {\begin{matrix} X_{A} & Y_{A} & X_{B} & Y_{B} \\ - 1 & ctg β & + 1 & ctg α \end{matrix}}_{(1, 2)}$

$X_{C}$ liczymy formą pierwszą dolną zwykłą, a $Y_{C}$ liczymy formą drugą dolną zwykłą i otrzymujemy:

$\begin{matrix} X_{C} & = \frac{+ X_{A} \cdot ctg β + Y_{A} + X_{B} \cdot ctg α - Y_{B}}{ctg α + ctg β} \\ Y_{C} & = \frac{- X_{A} + Y_{A} \cdot ctg β + X_{B} + Y_{B} \cdot ctg α}{ctg α + ctg β} \end{matrix}$

Bibliografia

Szablon:Cytuj
Szablon:Cytuj
Aleksander Skórczyński, Podstawy obliczeń geodezyjnych, Uczelnia Warszawska im. Marii Skłodowskiej-Curie, Szablon:ISBN.
Szablon:Cytuj
Szablon:Cytuj stronę

Forma rachunkowa (Hausbrandta)

Spis treści

Formy podstawowe

Formy uzupełniające

Formy rachunkowe wielokrotne

Przykłady

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Forma rachunkowa (Hausbrandta)

Formy podstawowe

Formy uzupełniające

Formy rachunkowe wielokrotne

Przykłady

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj