Filtr Czebyszewa

Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu

Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.

Typy filtrów Czebyszewa

Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:

• filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym,
• filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Typ II (inwersyjny)

Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD

Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):

• operowanie częstotliwością znormalizowaną $\mathrm{\Omega },$
• konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora $s$ dla otrzymanych transmitancji $K(s).$

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych FDP

Kwadrat modułu transmitancji $K(s)$ filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym $(s=j\omega ),$ dany jest następującym wzorem:

$|K(\mathrm{\Omega }){|}^2=K(S)\cdot K(-S)=\frac{1}{1+{ϵ}^2\cdot \frac{T_N^2\cdot \left(\frac{{\mathrm{\Omega }}_{zap}}{{\mathrm{\Omega }}_c}\right)}{T_N^2\left(\frac{{\mathrm{\Omega }}_{zap}}{\mathrm{\Omega }}\right)}},$

gdzie:

$A_{max}$ – przyjmuje się wartość 3 dB,

$ϵ$ – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym, $ϵ=\sqrt{10^{0,1A_{max}}-1},$ stąd: $ϵ=1,$

${\mathrm{\Omega }}_{zap}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,

${\mathrm{\Omega }}_c=1,$

$T_N$ – wielomian Czebyszewa rzędu $N.$

Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji $K(s):$

$s_v=\frac{{\mathrm{\Omega }}_{zap}}{\sigma \cdot \sin (\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\mathrm{\Pi }}{2})\pm j\cdot {\omega }_{HA}\cdot \cos (\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\mathrm{\Pi }}{2})},$

gdzie:

$v_{max}=1,2,\dots ,N,$

$A_{min}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,

${\omega }_{HA}=\cosh (\frac{1}{N}\cdot {\sinh }^{-1}\sqrt{10^{0,1\cdot A_{min}}-1}),$

${\sigma }_{HA}=\sqrt{{\omega }_{HA}^2-1}$

oraz zera transmitancji $K(s):$

${\omega }_{0\mu }=\pm \frac{\mathrm{\Omega }zap}{\cos (\frac{2\mu -1}{N}\cdot \frac{\mathrm{\Pi }}{2})},$

gdzie:

${\mu }_{max}=\left\{\begin{array}{c}\frac{N-1}{2}\text{dla N-nieparzystych}\\ \frac{N}{2}\text{dla N-parzystych}\end{array}\right\}.$

Po obliczeniu biegunów i zer następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części $Re<0$ !) do wzoru na transmitancję $K(s):$

$K(s)=\frac{\prod _{\mu =1}^{\mu =max}\cdot (s^2+{\omega }_{o\mu }^2)}{\prod _{v=1}^{v=max}\cdot (s-s_v)},$

gdzie:

${\mu }_{max}=\left\{\begin{array}{c}\frac{N-1}{2}\text{dla N-nieparzystych}\\ \frac{N}{2}\text{dla N-parzystych}\end{array}\right\},$

$v_{max}=1,2,\dots ,N.$

Przykład

Przykładowa transmitancja $K(s)$ dla filtru FDP rzędu 3 $(N=3)$ o parametrach ${\mathrm{\Omega }}_{zap}=1,15,$ $A_{min}=9\text{dB}:$

$K(s)=\frac{s^2+1,3279^2}{(s^2+0,6199\cdot s+1,1974)\cdot (s+1,9315)}.$

Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu)

Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: $A_{max}$ = 3 dB @ ${\mathrm{\Omega }}_c$ = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:

• przy stałym rzędzie $N$ filtru, istotna jest zależność pomiędzy $A_{min}$ a ${\mathrm{\Omega }}_{zap},$
• gdy wartości ${\mathrm{\Omega }}_{zap}$ bliskie ${\mathrm{\Omega }}_c$ = 1 – powodują zmniejszanie wartości $A_{min}$ (zjawisko niekorzystne),
• gdy ${\mathrm{\Omega }}_{zap}\ll 1,$ wtedy zwiększa się wartość $A_{min}$ (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.

Bibliografia

• Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów, Helion, Gliwice 1999.
• G. Fritzsche, Entwurf linearer Schaltungen, VEB Verlag Technik, 1962.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę