Ekstrapolacja (matematyka)

Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego są dostępne dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wylicza się jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem $h.$ Wynikiem jej działania jest $F(h).$ Z wartością dokładną ma się do czynienia tylko, jeśli $h=0$. Trudności obliczeniowe rosną gdy $h$ maleje. Metoda ta była jedną z idei kluczowych algorytmu Bulirscha-Stoera.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia $(p_1<p_2<p_3<\dots )$

$F(h)=a_0+a_1{h}^{p_1}+a_2{h}^{p_2}+a_3{h}^{p_3}\dots$

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

$F(h_0),F(q^{-1}{h}_0),F(q^{-2}{h}_0),F(q^{-3}{h}_0)\dots q>1$

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji, którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

$F_n(h)=a_0+a_{n,n}{h}^{p_n}+a_{n,n+1}{h}^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}{h}^{p_{n+2}}\dots$

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa $h_0$ i liczba $q>1,$ stosuje się wzór rekurencyjny:

$A_{m,0}=F(q^{-m}{h}_0)$ dla $m=0,1,2\dots$

$A_{m,k}=A_{m,k-1}+\frac{A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_k}-1}$ dla $k=1,2,3\dots$

$F_n(h_0)=A_{n-1,n-1}$ dla $n=2,3,4\dots$

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego

$f(x_0+h)=f(x_0)+h{f}^{\prime }(x_0)+\frac{h^2}{2!}{f}^{″}(x_0)+\frac{h^3}{3!}{f}^{(3)}(x_0)+\dots$

Różnica progresywna

$D_p(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f^{\prime }(x_0)+\frac{h}{2!}{f}^{″}(x_0)+\frac{h^2}{3!}{f}^{(3)}(x_0)+\dots$

$p_1=1,p_2=2,p_3=3,\dots$

Zobacz też

• ekstrapolacja trendów