Egzotyczny R4

Egzotyczny ${ℝ}^4$ – właściwość czterowymiarowego układu Euklidesowego ${ℝ}^4,$ który dopuszcza kontinuum rozmaitości różniczkowalnych, które są z nim homeomorficzne (mówiąc kolokwialnie „zachowują kształt”), lecz nie są z nim dyfeomorficzne (mówiąc kolokwialnie „pochodna się gubi”). Rozmaitości takie nazywa się egzotycznymi.

W wymiarach innych niż 4 rozmaitości egzotyczne do układu Euklidesowego nie istnieją.

Pierwsze przykłady egzotycznych rozmaitości ${ℝ}^4$ odnalazł Michael Freedman i inni w 1982 roku, wykorzystując kontrast pomiędzy twierdzeniem Freedmana o topologicznych 4-rozmiatościach, a twierdzeniem Simona Donaldsona o 4-rozmiatościach gładkich (różniczkowalnych).

Rodzaje

Egzotyczna rozmaitość ${ℝ}^4$ jest nazywana małą, jeżeli jest dyfeomorficzna z otwartym podzbiorem standardowego układu Euklidesowego ${ℝ}^4.$ W przeciwnym wypadku jest nazywana dużą.